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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 17

Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E ³ que equidistam de r : x = y = z ,   s : x - z = y = 0 e A = 1 ,   0 ,   1 é a reunião de duas retas paralelas, e obtenha equações dessas retas.

Passo 1

Vamos começar encontrando equações vetoriais para r e s .

Em r , temos

r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   1 ,   1 )

Então r tem um ponto P = ( 0 ,   0 ,   0 ) e vetor diretor r → = ( 1 ,   1 ,   1 )

Já em s , temos y = 0 e x = z , então

x ,   y ,   z = ( x ,   0 ,   x )

s : X = 0 ,   0 ,   0 + t . ( 1 ,   0 ,   1 )

Então s tem um ponto P = ( 0 ,   0 ,   0 ) também e tem vetor diretor s → = ( 1 ,   0 ,   1 ) .

Passo 2

Vamos chamar o lugar geométrico que estamos procurando de X = ( x ,   y ,   z )

Primeiramente, vamos igualar d ( P ,   r ) a d ( P ,   s ) , pois nosso lugar geométrico deve ter a mesma distância até essas retas. Sabemos que a distância entre um ponto e uma reta é

d X , r = P X → ∧ r → r →

Onde P é um ponto da reta.

Tanto para r como para s , temos o ponto P = ( 0 ,   0 ,   0 ) , então P X → = X - P = ( x ,   y ,   z )

Dessa forma:

d X ,   r = d ( X ,   s )

P X → ∧ r → r → = P X → ∧ s → s →

( x ,   y ,   z ) ∧ ( 1 ,   1 ,   1 ) 3 = ( x ,   y ,   z ) ∧ ( 1 ,   0 ,   1 ) 2

( y - z ,   z - x ,   x - y ) 3 = ( y ,   z - x ,   - y ) 2

2 y 2 - 2 y z - 2 y x + 2 z 2 + 2 x 2 - 2 z x 3 = 2 y 2 + z 2 + x 2 - 2 z x 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

2 y 2 - 2 y z - 2 y x + 2 z 2 + 2 x 2 - 2 z x 3 = 2 y 2 + z 2 + x 2 - 2 z x 2

4 y 2 - 4 y z - 4 y x + 4 z 2 + 4 x 2 - 4 z x = 6 y 2 + 3 z 2 + 3 x 2 - 6 z x

2 y 2 - z 2 - x 2 + 10 z x + 4 y x + 4 y z = 0     ( I )

Passo 3

Agora vamos igualar d ( X ,   s ) com d ( X ,   A ) , pois essas distâncias também devem ser iguais. Sabendo que A = ( 1 ,   0 ,   1 ) , temos

d X ,   s = d ( X ,   A )

2 y 2 + z 2 + x 2 - 2 z x 2 = x - 1 2 + y 2 + z - 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado e desenvolvendo os produtos notáveis:

2 y 2 + z 2 + x 2 - 2 z x 2 = x 2 - 2 x + 1 + y 2 + z 2 - 2 z + 1

2 y 2 + z 2 + x 2 - 2 z x 2 = x 2 - 2 x + y 2 + z 2 - 2 z + 2

2 y 2 + z 2 + x 2 - 2 z x = 2 x 2 - 4 x + 2 y 2 + 2 z 2 - 4 z + 4

x 2 - 4 x + z 2 - 4 z + 2 z x + 4 = 0     ( I I )

Passo 4

Então, temos um sistema formado pelas equações ( I ) e ( I I ) :

2 y 2 - z 2 - x 2 + 10 z x + 4 y x + 4 y z = 0 x 2 - 4 x + z 2 - 4 z + 2 z x + 4 = 0

Daí temos que

x = - y

y = - 2 ± 6

z = 2 + y

Então, temos duas possíveis soluções:

t ' : x ,   y ,   z = - y ,   - 2 + 6 ,   2 + y = 0 ,   - 2 + 6 ,   2 + λ ( - 1 ,   0 ,   1 )

t ' ' : x ,   y ,   z = - y ,   - 2 - 6 ,   2 + y = 0 ,   - 2 - 6 ,   2 + λ ( - 1 ,   0 ,   1 )

Que são duas retas paralelas, pois em ambas o vetor diretor é - 1 ,   0 ,   1 :D

Resposta

t ' : X = 0 ,   - 2 + 6 ,   2 + λ ( - 1 ,   0 ,   1 )

t ' ' : X = 0 ,   - 2 - 6 ,   2 + λ ( - 1 ,   0 ,   1 )

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