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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 39.Problemas - Ex. 2

Dadas as matrizes

m = a 1 b 1 a 2 b 2     e     n = c 1 d 1 c 2 d 2

Defina as funções M , N : R 2 →   R 2 (transformações lineares) pondo, para cada x , y ∈ R 2 ,   M x , y = a 1 x + b 1 y , a 2 x + b 2 y ) ,   N ( x , y ) = ( c 1 x + d 1 y , c 2 x + d 2 y ) . Prove que a composta M ∘ N : R 2 → R 2 tem a forma M ∘ N x , y = r 1 x + s 1 y , r 2 x + s 2 y ,   onde,

r 1 s 1 r 2 s 2 = m n

Enuncie e prove um resultado análogo para matrizes 3   x   3 . Generalize.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Nessa questão dadas as matrizes

m = a 1 b 1 a 2 b 2     e     n = c 1 d 1 c 2 d 2

Defina as funções M , N : R 2 →   R 2 (transformações lineares) pondo, para cada x , y ∈ R 2 ,   M x , y = a 1 x + b 1 y , a 2 x + b 2 y ) ,   N ( x , y ) = ( c 1 x + d 1 y , c 2 x + d 2 y ) . Prove que a composta M ∘ N : R 2 → R 2 tem a forma M ∘ N x , y = r 1 x + s 1 y , r 2 x + s 2 y ,   onde,

r 1 s 1 r 2 s 2 = m n

Enuncie e prove um resultado análogo para matrizes 3   x   3 . Generalize.

Vem comigo que essa questão e bem simples.

Passo 2

Sabendo que,

m = a 1 b 1 a 2 b 2     e     n = c 1 d 1 c 2 d 2

Para afirmarmos,

M , N : R 2 →   R 2 para,

M x , y = a 1 x + b 1 y , a 2 x + b 2 y )

N ( x , y ) = ( c 1 x + d 1 y , c 2 x + d 2 y )

Assim,

M ∘ N : R 2 → R 2

M ∘ N x , y = r 1 x + s 1 y , r 2 x + s 2 y

Ficando,

r 1 s 1 r 2 s 2 = a 1 x + b 1 y c 1 x + d 1 y a 2 x + b 2 y c 2 x + d 2 y

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

r 1 s 1 r 2 s 2 = a 1 x + b 1 y c 1 x + d 1 y a 2 x + b 2 y c 2 x + d 2 y

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