Dado os pontos A, B no eixo E, defina a distância orientada δ ( A , B ) entre eles pondo δ A , B = d ( A , B ) se A está à esquerda de B e pondo δ A , B = - d ( A , B ) se A está à direita de B. Prove que para quaisquer pontos A, B e C do eixo E, tem-se: δ A , B +δ B , C +δ C , A = 0

Enunciado

Falaa, blz? Vamos definir o que é essa tal de distância orientada.

Sabemos que:

Usando que b é a coordenada de B e a é a coordenada de A

Ou seja, vamos usar que e

Existem 3 casos para o ponto C:

1.Ele está na direita dos 2 pontos

2.Ele está na esquerda dos 2 pontos

3.Ele está no meio dos 2 pontos

Vamos provar a igualdade pedida para cada uma das 3 possibilidades, tomando que A está na esquerda de B.

1.Se C está na direita dos 2 pontos, temos que

Além disso, como A está na esquerda de B, temos

Colocando em

2.Se C está na esquerda dos 2 pontos, temos que e

Colocando em

3.C no meio dos 2 pontos, logo

Demonstração