Se AB = BA e p é um inteiro positivo, mostre que .
Passo 1
Inicialmente, devemos lembrar que AB = BA é uma relação válida para matrizes comutativas. Devemos lembrar, também, que as matrizes possuem uma propriedade de associatividade, ou seja: (AB)C = A(BC).
Passo 2
Agora, partindo para , podemos desenvolver essa operação como:
, p vezes.
Como as matrizes comutam, podemos reescrever a operação como:
.
.
Passo 3
Já pode ser escrito como:
, p vezes cada matriz.
Novamente, pela propriedade de comutatividade:
, p vezes para cada matriz.
Ou seja:
, p vezes.