Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 22
Se AB = BA e p é um inteiro positivo, mostre que .
Passo 1
Inicialmente, devemos lembrar que AB = BA é uma relação válida para matrizes comutativas. Devemos lembrar, também, que as matrizes possuem uma propriedade de associatividade, ou seja: (AB)C = A(BC).
Passo 2
Agora, partindo para , podemos desenvolver essa operação como:
, p vezes.
Como as matrizes comutam, podemos reescrever a operação como:
.
.
Passo 3
Já pode ser escrito como:
, p vezes cada matriz.
Novamente, pela propriedade de comutatividade:
, p vezes para cada matriz.
Ou seja:
, p vezes.
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ..., E n = 0 0 ⋮ 0 1 matrizes nx1.Mostre que se B =b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 m b 2 m ⋮⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n m é uma matriz nxm, então E t i B é igual à linh
Verifique que A^3 = overset(-)(0) , para A = [[[0,1,0],[0,0,1],[0,0,0]]] .
Uma matriz A é chamada nilpotente se A k = 0, para algum inteiro positivo k. Verifique que a matriz É nilpotente.
Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativos. Mostre que:b) Se A é uma matriz nxn e B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k ,Em que
Sejam D = [[[1,0],[0,-,1]]] e P = [[[cos theta,sin theta],[-,sin theta,cos theta]]] Sabendo-se que A = P^t D P , calcule D^2 , P P^t e A^2 .