Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 22
Se AB = BA e p é um inteiro positivo, mostre que .
Passo 1
Inicialmente, devemos lembrar que AB = BA é uma relação válida para matrizes comutativas. Devemos lembrar, também, que as matrizes possuem uma propriedade de associatividade, ou seja: (AB)C = A(BC).
Passo 2
Agora, partindo para , podemos desenvolver essa operação como:
, p vezes.
Como as matrizes comutam, podemos reescrever a operação como:
.
.
Passo 3
Já pode ser escrito como:
, p vezes cada matriz.
Novamente, pela propriedade de comutatividade:
, p vezes para cada matriz.
Ou seja:
, p vezes.
Resposta
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Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ..., E n = 0 0 ⋮ 0 1 matrizes nx1.Mostre que se B =b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 m b 2 m ⋮⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n m é uma matriz nxm, então E t i B é igual à linh
Verifique que A 3 = 0 - , para A =0 1 0 0 0 1 0 0 0 .
Uma matriz A é chamada nilpotente se A k = 0, para algum inteiro positivo k. Verifique que a matriz É nilpotente.
Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativos. Mostre que:b) Se A é uma matriz nxn e B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k ,Em que
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