Se AB = BA e p é um inteiro positivo, mostre que ( A B ) p = A p B p .

Passo 1

Inicialmente, devemos lembrar que AB = BA é uma relação válida para matrizes comutativas. Devemos lembrar, também, que as matrizes possuem uma propriedade de associatividade, ou seja: (AB)C = A(BC).

Passo 2

Agora, partindo para ( A B ) p , podemos desenvolver essa operação como:

( A B ) p = A B ∙ A B ∙ A B ∙ … ∙ ( A B ) , p vezes.

Como as matrizes comutam, podemos reescrever a operação como:

( A B ) p = A B ∙ B A ∙ A B ∙ … ∙ ( B A ) .

( A B ) p = A ∙ B B ∙ A A ∙ B . . .

Passo 3

A p B p pode ser escrito como:

A p B p = A ∙ A ∙ A ∙ A … ∙ B ∙ B ∙ B … , p vezes cada matriz.

Novamente, pela propriedade de comutatividade:

A p B p = A ∙ B ∙ A ∙ B … ∙ A ∙ B … , p vezes para cada matriz.

Ou seja:

A p B p = ( A B ) ∙ ( A B ) … ∙ ( A B ) , p vezes.

Resposta

( A B ) p =   A p B p

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