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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 1.Exercícios Propostos - Ex. 19

Dado um tetraedro OABC, tem-se O A → = a → , O B → = b → , O C → = c → , O P → = 2 3 O B → . M é o ponto médio de A B → , N é o ponto médio de B C → e Q é o ponto médio de A C → . Pede-se u → = P M → + P N → + P Q → em função de a → , b → e c → .

Passo 1

Fala, galera! Essa questão exige um pouco mais de visão espacial, mas calma. Vamos começar desenhando as informações que estão no enunciado. O resultado final vai ficar como no desenho abaixo. Um tetraedro é uma pirâmide de base triangular. O A → = a → , O B → = b → , O C → = c → são os vetores que saem do topo da pirâmide e O P → = 2 3 O B → indica que P está a 2 3 do caminho entre O e B. Depois disso, identificamos os pontos médios M, N e Q, que estão nas arestas da base. Agora, podemos desenhar os vetores P M → , P N → e P Q → . Para a imagem não ficar com muitas informações, nós omitimos os nomes dos vetores.

Passo 2

Agora, vamos tentar escrever P M → , P N → e P Q → em função de a → , b → e c → . Vamos começar com os dois primeiros pq são mais simples. Na figura abaixo, vemos dois lados do tetraedro.

Assim, fica fácil entender que P N → = P O → + O N → = - O P → + O N → . Nós já sabemos que O P → = 2 3 O B → = 2 3 b → porque essa informação foi dada no enunciado. Falta determinar O N → . Para isso, temos que lembrar que N é ponto médio B C → , então podemos usar o resultado do Exercício Resolvido 3:

O N → = 1 2 O C → + 1 2 O B → = 1 2 c → + 1 2 b →

Assim,

P N → = - O P → + O N → = - 2 3 b → + 1 2 c → + 1 2 b → = - 1 6 b → + 1 2 c →

Para obter P M → vamos seguir o mesmo raciocínio:

P M → = - O P → + O M → = - 2 3 b → + 1 2 a → + 1 2 b → = - 1 6 b → + 1 2 a →

Para obter P Q → vamos usar um raciocínio um pouco diferente. Vamos escolher caminho POQ e calcular O Q → usando também o resultado do Exercício Resolvido 3. Nesse caso,

P Q → = P O → + O Q → = - O P → + O Q → = - 2 3 b → + 1 2 a → + 1 2 c →

Passo 3

Agora temos todas as informações necessárias para obter u → = P M → + P N → + P Q → . Assim,

u → = P M → + P N → + P Q → = - 1 6 b → + 1 2 a → - 1 6 b → + 1 2 c → - 2 3 b → + 1 2 a → + 1 2 c → = - b → + a → + c →

Resposta

u → = a → - b → + c →

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