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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 28.Problemas - Ex. 2

Dados u   =   ( α ,   β ,   γ ) , v   =   ( α   '   ,   β '   ,   γ '   ) e w   =   ( β γ '   -   γ β '   ,   γ α '   -   α γ '   ,   α β '   -   β α '   ) , calcule os produtos internos < u , w >   ;   < v , w   > . Que relação entre u e v implica w = 0?

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Para esse exercício vamos calcular o produto interno, temos os vetores:

u   =   ( α ,   β ,   γ ) , v   =   ( α   '   ,   β '   ,   γ '   ) e w   =   ( β γ '   -   γ β '   ,   γ α '   -   α γ '   ,   α β '   -   β α '   )

Inicialmente vamos calcular < u , w >

< α .   β γ ' -   γ β ' +   β .   γ α ' -   α γ ' +   γ (   α β ' -   β α ' ) >

< α β γ ' -   α γ β ' +     β γ α ' -   β α γ ' +     γ α β ' -   γ β α ' >   = 0  

Até aí tranquilo?

Passo 2

Agora vamos calcular < v , w >

< α ' .   β γ ' -   γ β ' +   β ' .   γ α ' -   α γ ' +   γ ' (   α β ' -   β α ' ) >

< α ' β γ ' -   α ' γ β ' +     β ' γ α ' -   β ' α γ ' +     γ ' α β ' -   γ ' β α ' >   = 0  

A relação entre u   e   v que implica w   =   0 é que eles são ortogonais.

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

< u , w >

< α β γ ' -   α γ β ' +     β γ α ' -   β α γ ' +     γ α β ' -   γ β α ' >   = 0  

< v , w >

< α ' β γ ' -   α ' γ β ' +     β ' γ α ' -   β ' α γ ' +     γ ' α β ' -   γ ' β α ' >   = 0  

A relação entre u   e   v que implica w   =   0 é que eles são ortogonais.

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