Dados os vetores u e v, prove que as afirmações seguintes são equivalentes:

a) Uma combinação linear αu + βv só pode ser igual a zero quando α = β = 0.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Sejam os vetores u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) não-nulos e distintos, vamos definir α u + β v :

α u + β v = α x 1 , y 1 + β x 2 , y 2 =   α x 1 , α y 1 + β x 2 , β y 2

α u + β v = α x 1 + β x 2 , α y 1 + β y 2 = ( 0,0 )

Dessa segunda igualdade, temos o sistema:

α x 1 + β x 2 = 0 α y 1 + β y 2 = 0

Tanto na primeira como na segunda equação temos que com x 1 , x 2 ,   y 1 , y 2 ≠ 0

Temos que α = β = 0 . Como queríamos demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração acima.

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