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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 1a

Dados os vetores u e v, prove que as afirmações seguintes são equivalentes:

a) Uma combinação linear αu + βv só pode ser igual a zero quando α = β = 0.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Sejam os vetores u = ( x 1 , y 1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) não-nulos e distintos, vamos definir α u + β v :

α u + β v = α x 1 , y 1 + β x 2 , y 2 =   α x 1 , α y 1 + β x 2 , β y 2

α u + β v = α x 1 + β x 2 , α y 1 + β y 2 = ( 0,0 )

Dessa segunda igualdade, temos o sistema:

α x 1 + β x 2 = 0 α y 1 + β y 2 = 0

Tanto na primeira como na segunda equação temos que com x 1 , x 2 ,   y 1 , y 2 ≠ 0

Temos que α = β = 0 . Como queríamos demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Dados a →=( 1,0 , 1 ) , b →=( 1,1 , 2 ) e c →=( 1,2 , 3 ) , pede-se um vetor u → tal que u → e b → sejam l.d. e a→ + u → e c → sejam l.d..
É possível escrever ( 0,0 , 1 ) como combinação linear de ( 1,2 , 1 ) , ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 1 ) ?Se quatro vetores de V 3 são sempre l.d., como interpretar a resposta da parte a)?
Dados os vetores a →=( 5 , - 1,0 ) , b →=( 2,0 , 1 ) e c →=( 0,1 , 3 ) , escreva o vetor x→ = ( 2 , - 1 , - 1 ) como combinação linear de a→ , b → e c → .
Os vetores u →=( a , - 1 , b + 1 ) e v →=( 4 , a - 5 ,b - 1 ) são paralelos. determine as coordenadas de u →+v → .
O A →=( 4 , - 3 , - 1 ) , O B →=( - 5,3 , - 7 ) e O C →=( 1 , y , z ) . Determine y e z sabendo que C pertence à reta AB.