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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 1.O tratamento algébrico - Ex. 44

Dado o vetor w → = 3,2 , 5 , determinar a e b de modo que os vetores u → = 3,2 , - 1 e v → = a , 6 , b + 2 w → sejam paralelos.

Passo 1

Vamos lá, temos que dois vetores a → = x 1 , y 1 , z 1 e b → = x 2 , y 2 , z 2 são paralelos se existe um número real α tal que a → = α u → , ou seja:

a → = α u → → x 1 , y 1 , z 1 = α x 2 , y 2 , z 2 → x 1 , y 1 , z 1 = α x 2 , α y 2 , α z 2

Pronto, podemos então comparar cada coordenada:

x 1 = α x 2

y 1 = α y 2

z 1 = α z 2

Disso podemos tirar que:

x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = α

Ou seja, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais.

Passo 2

Vamos então ter que analisar u → com v → , mas primeiro vamos fazer as operações no vetor v → :

v → = a , 6 , b + 2 w → = a , 6 , b + 2 3,2 , 5 = a , 6 , b + 6 , 4 , 10 = a + 6 , 6 + 4 , b + 10 =

= a + 6 , 10 , b + 10

Agora sim vamos analisar u → com v → :

x 1 x 2 = 3 a + 6

y 1 y 2 = 2 10 = 1 5

z 1 z 2 = - 1 b + 10

Vamos então igualar as expressões:

x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = α

3 a + 6 = 1 5 → 15 = a + 6 → a = 9

- 1 b + 10 = 1 5 → - 5 = b + 10 → b = - 15

Pronto, temos que para u → e v → serem paralelos os valores de a e b são: a = 9 e b = - 15 .

Resposta

a = 9 e b = - 15

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