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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 1.O tratamento algébrico - Ex. 45

A reta que passa pelos pontos A - 2,5 , 1 e B 1,3 , 0 é paralela à reta determinada por C 3 , - 1 , - 1 e D 0 , m , n . Determinar o ponto D .

Passo 1

Vamos lá, com a reta que passa pelos pontos A e B podemos fazer o vetor A B → e com a reta que passa pelos pontos C e D podemos fazer o vetor C D → .

Fazemos isso porque temos que dois vetores a → = x 1 , y 1 , z 1 e b → = x 2 , y 2 , z 2 são paralelos se existe um número real α tal que a → = α u → , ou seja:

a → = α u → → x 1 , y 1 , z 1 = α x 2 , y 2 , z 2 → x 1 , y 1 , z 1 = α x 2 , α y 2 , α z 2

Pronto, podemos então comparar cada coordenada:

x 1 = α x 2

y 1 = α y 2

z 1 = α z 2

Disso podemos tirar que:

x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = α

Ou seja, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais, assim temos:

A B → = α C D →

Passo 2

Vamos então substituir os pontos na expressão:

A B → = α C D → → B - A = α D - C → 1,3 , 0 - - 2,5 , 1 = α 0 , m , n - 3 , - 1 , - 1 →

→ 1 + 2,3 - 5,0 - 1 = α 0 - 3 , m + 1 , n + 1 → 3 , - 2 , - 1 = α - 3 , m + 1 , n + 1

Agora vamos analisar A B → com C D → :

x 1 x 2 = 3 - 3 = - 1 =   α

y 1 y 2 = - 2 m + 1

z 1 z 2 = - 1 n + 1

Passo 3

Vamos então igualar as expressões:

x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = α = - 1

y 1 y 2 = α → - 2 m + 1 = - 1 → - m + 1 = - 2 → - m - 1 = - 2 →

→ m = - 1 + 2 → m = 1

z 1 z 2 = α → - 1 n + 1 = - 1 → - n - 1 = - 1 → n = - 1 + 1 → n = 0

Agora vamos substituir no ponto D :

D = 0 , m , n = 0,1 , 0

Pronto, temos então o ponto D 0,1 , 0 .

Resposta

D 0,1 , 0

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