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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 1.O tratamento algébrico - Ex. 47

Sabendo que o ponto P m , 4 , n pertence à reta que passa pelos pontos A - 1 , - 2,3 e B 2,1 , - 5 , calcular m e n .

Passo 1

Vamos lá, se os pontos pertencem a uma mesma reta eles devem ser paralelos entre si, vamos então usar a condição deles serem paralelos.

Temos que dois vetores a → = x 1 , y 1 , z 1 e b → = x 2 , y 2 , z 2 são paralelos se existe um número real α tal que a → = α u → , ou seja:

a → = α u → → x 1 , y 1 , z 1 = α x 2 , y 2 , z 2 → x 1 , y 1 , z 1 = α x 2 , α y 2 , α z 2

Pronto, podemos então comparar cada coordenada:

x 1 = α x 2

y 1 = α y 2

z 1 = α z 2

Disso podemos tirar que:

x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = α

Ou seja, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais, assim temos:

A P → = α P B →

Passo 2

Vamos então ter que analisar A P → e P B → :

A P → = P - A = m , 4 , n - - 1 , - 2,3 = m + 1,4 + 2 , n - 3 = m + 1,6 , n - 3

P B → = B - P = 2,1 , - 5 - m , 4 , n = 2 - m , 1 - 4 , - 5 - n = 2 - m , - 3 , - 5 - n

Agora sim vamos analisar A P → com P B → :

x 1 x 2 = m + 1 2 - m

y 1 y 2 = 6 - 3 = - 2

z 1 z 2 = n - 3 - 5 - n

Passo 3

Vamos então igualar as expressões:

x 1 x 2 = y 1 y 2 = z 1 z 2 = α

Achando o valor de m :

m + 1 2 - m = - 2 → m + 1 = - 2 2 - m → m + 1 = - 4 + 2 m → m - 2 m = - 4 - 1 →

→ - m = - 5 → m = 5

E o de n :

n - 3 - 5 - n = - 2 → n - 3 = - 2 - 5 - n → n - 3 = 10 + 2 n → n - 2 n = 10 + 3 →

→ - n = 13 → n = - 13

Pronto, temos que   m = 5 e n = - 13 .

Resposta

m = 5 e n = - 13

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