Enunciado

Dado os vetores vec u = ( 2 , - 4 ) e vec v = (- 5,1) e vec w = (- 12,6) determine k_1 e k_2 t a l que vec w = k_1 vec u + k_2 vec v .

Passo 1

E aí, tudo joia?

Nesse aqui a gente tem três vetores, mas fica tranquilo que vai ser bem de boa. A gente vai começar montando a expressão com os valores dados...

vec w = k_1 vec u + k_2 vec v

Jogando nossos vetores, temos:

(- 12,6) = k_1 (2 , - 4) + k_2 ( - 5,1 )

Beleza, montamos! Agora a gente vai desenvolver isso...

Passo 2

(- 12,6) = (2 k_1 , - 4 k_1) + (- 5 k_2 , 1 k_2)

Fazendo a soma dos vetores:

(- 12,6) = (2 k_1 - 5 k_2 , - 4 k_1 + 1 k_2)

Beleza, agora a gente parte para a igualdade de vetores, aí a gente vai chegar em:

{[[- 12 = 2 k_1 - 5 k_2],[6 = - 4 k_1 + k_2]])

Show! Se a gente resolver esse sistema a gente descobre nossos k_1 e k_2 !

Passo 3

Isolando o k_2 na segunda, a gente tem:

k_2 = 6 + 4 k_1

E aí a gente substitui isso na primeira:

- 12 = 2 k_1 - 5 (6 + 4 k_1)

- 12 = 2 k_1 - 30 - 20 k_1

- 12 + 30 = - 18 k_1

18 = - 18 k_1

k_1 = - 1

Ótimo! Achamos k_1 ! E como k_2 = 6 + 4 k_1 , temos:

k_2 = 6 + 4 (- 1)

k_2 = 2

E prontinho! Achamos os dois valores pedidos😊

Resposta

k_1 = - 1 e k_2 = 2

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22. Seja o vetor v → = 2 ,- 1 ,1 . Obter:b) Um vetor unitário ortogonal a v → ;
Sejam u → = m , - 1 , m 2 + 1 , v → = ( m 2 + 1 , m , 0 ) e w → = m , 1,1 . Mostre que C = ( u → , v → , w → ) é uma base de V , independentemente do valor de m .
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