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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 22b

22. Seja o vetor v → = 2 ,   - 1 ,   1 . Obter:

b) Um vetor unitário ortogonal a v → ;

Passo 1

Então galera, de acordo com o que estudamos no capítulo em questão do Winterle, temos que o produto escalar entre dois vetores é dado da seguinte forma:

u → ∙ v → = u → ∙ v → cos ⁡ θ

No qual cos ⁡ θ é o ângulo entre os dois vetores. Quando os vetores são ortogonais, isso significa que o ângulo entre eles é de 90 ° e cos ⁡ 90 ° = 0 , então temos o seguinte:

u → ∙ v → = 0

Vale ressaltar que isso é quanto a informação sobre o vetor ser ortogonal a v → . Agora quanto a ser unitário, isso quer dizer que:

u → = 1

Ahhh, mais uma coisa! Chamaremos u → o vetor que queremos encontrar, no qual suas componentes são:

u → = x , y ,   z

Show!

Passo 2

Quanto a ortogonalidade, temos que:

x ,   y ,   z ∙ 2 ,   - 1 ,   1 = 0

2 x - y + z = 0

Note que como não temos outras 2 equações para encontrarmos de fato as componentes x , y e z , então temos INFINITOS resultados possíveis, galera! Um desses resultados seria:

2.1 - 1 - 1 = 0

Logo:

u → = 1 ,   1 ,   - 1

Quanto ao vetor u → ser unitário:

u → = 1 2 + 1 2 + - 1 2

u → = 3

Logo:

u → u → = 1 3 , 1 3 ,   - 1 3

E esse é nosso vetor!

Resposta

U m   p o s s í v e l   v e t o r : 1 3 , 1 3 ,   - 1 3

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