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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 11

Dados u →   =   ( 3,3 , 18 ) e v →   =   ( 2 , - 2,1 ) , determine x → e y →   tais que u   → = x → + y →   , sendo x → paralelo a v →   e y → ortogonal a v →   .

Passo 1

E aí, galera! Para resolver essa questão precisamos lembrar de dois conceitos: dois vetores são paralelos quando o ângulo entre os dois é zero. Nesse caso, o cosseno do ângulo é igual a 1 e temos x →   ⋅ v →   = | x → | | v → | . Por isso, podemos escrever o vetor x →   com um termo de proporcionalidade a v → . Assim, teremos

i)   x →     = α   v → =   ( 2 α , - 2 α , α )

O segundo conceito é que dois vetores são ortogonais quando y →   ⋅ v →   =   0 . Daí,

ii) y →   ⋅ v →   =   0   ⇒ ( a , b , c ) ⋅ ( 2 , - 2,1 )   =   0   ⇒ 2 a   - 2 b   +   c   = 0   .

Outro ponto importante dadona questão é que u   → = x → + y →   . Sendo x →   =   ( 2 α , - 2 α , α ) e y →   =   ( a , b , c ) , com u →   =   ( 3,3 , 18 ) vem que:

( 3,3 , 18 )   = ( 2 α , - 2 α , α )   +   ( a , b , c )   ⇒ ( 2 α   +   a ,   - 2 α   +   3 ,   α +   c )   =   ( 3,3 , 18 )   .

Daí,

iii) 2 α     + a   =   3 ;

- 2 α     + b   =   3 ;

α   + c   = 18 .

Passo 2

Agora falta pouco, precisamos apenas de uma forma de descobrir o valor de α . Para isso, iremos reescrever o item iii) para podemos substituir os valores de a , b e c   na equação ii). Vamos lá!

2 . ( 3 - 2 α )   - 2 . ( 3   +   2 α )   +   ( 18   -   α )   = 0

⇒ 6 - 4 α   - 6   - 4 α   +   18   -   α   = 0

⇒ - 9 α     + 18   = 0  

⇒ α     = 2  

Pronto, com α     = 2 temos que   x →     = ( 2 α , - 2 α , α )   = ( 4 , - 4,2 )   e substituindo em iii), temos

a   =   - 1 ; b   =   7 e c   =   16 . Logo, y →   =   ( - 1,7 , 16 ) .

Resposta

x →     = ( 4 , - 4,2 ) e y →   =   ( - 1,7 , 16 ) .

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