Dados O A →=( 2 , - 1,0 ) , O B →=( 1 , - 2,1 ) e O C →=( 1,0 , 2 ) , determine um vetor O D →=( x , y , z ) tal que O D → ,O A → ∧ O B → , O A → ∧ O C → sejam l.d., O D → ⋅ O B → = - 28 e o volume do tetraedro OABC seja 14.

O D →=( 0,0 , - 28 ) ou O D →=( 12,24,8 )

Enunciado

Para determinar , temos uma série de informações. A primeira que podemos usar é que

Também sabemos que o volume do tetraedro é 14. Como o volume é dado pela expressão

e o produto misto é dado por

então,

Então, por enquanto temos o sistema de equações:

Agora vamos fazer uso do fato de que são l.d. Para isso, temos, primeiramente, que calcular os produtos vetoriais:

Agora podemos calcular o determinante dos três vetores, igualar a zero, e ver que condições obtemos

Nos passos anteriores, obtivemos as condições:

Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos

Vamos substituir esse resultado junto com na terceira equação:

A equação acima pode ser satisfeita tanto por quanto por pois

Vamos substituir em

e em

Então, podemos ter