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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 15

A reta r passa por A   =   ( - 1,2 , 0 ) e B   =   ( 2,1 , 3 ) . A reta s é dada por. x + 3 3   =   y - 6 - 1   =   z + 3 3 . Ache os pontos C e D de s tais que A , B , C e D , nessa ordem, formem um retângulo. Calcule a área desse retângulo.

Passo 1

Para que A , B , C e D formem um retângulo, devemos ter

A B   → = D C   →

A D   → = B C   →

A D   → ⋅ A B   → = 0

As duas primeiras equações indicam que os lados opostos do retângulo devem ser iguais. A última indica que os ângulos internos devem ser retos. Para calcular esses vetores, precisamos definir C e D que pertençam à reta s . Vamos encontrar as equações paramétricas da reta:

x + 3 3   =   y - 6 - 1   =   z + 3 3 = s ⇒ x = 3 s - 3 ,   y = - s + 6 ,   z = 3 s - 3

Como x = z , e x = - 3 y + 15 , podemos ver que qualquer ponto dessa reta pode ser escrito como

P = ( - 3 y + 15 , y , - 3 y + 15 )

Assim, podemos escolher

C = ( - 3 c + 15 , c , - 3 c + 15 )

D = ( - 3 d + 15 , d , - 3 d + 15 )

Passo 2

Agora, vamos obter os vetores necessários:

A B   → = B - A =   ( 2,1 , 3 ) -   ( - 1,2 , 0 ) = ( 3 , - 1,3 )

D C   → = C - D = ( - 3 c + 15 , c , - 3 c + 15 ) - ( - 3 d + 15 , d , - 3 d + 15 )

D C   → = ( 3 d - 3 c , c - d , 3 d - 3 c )

A D   → = D - A = ( - 3 d + 15 , d , - 3 d + 15 ) - ( - 1,2 , 0 ) = ( - 3 d + 16 , d - 2 , - 3 d + 15 )

B C   → = C - B = ( - 3 c + 15 , c , - 3 c + 15 ) - ( 2,1 , 3 ) = ( - 3 c + 13 , c - 1 , - 3 c + 12 )

Passo 3

Agora que temos os vetores, podemos testar as condições:

A B   → = D C   → ⇒ ( 3 , - 1,3 ) = ( 3 d - 3 c , c - d , 3 d - 3 c )

⇒ 3 d - 3 c = 3 ⇒ d - c = 1 ⇒ d = 1 + c

A D   → = B C   → ⇒ ( - 3 d + 16 , d - 2 , - 3 d + 15 ) = ( - 3 c + 13 , c - 1 , - 3 c + 12 )

Essa condição na verdade nos leva a mesma informação de que d = 1 + c . Então, vamos testar a última condição:

A D   → ⋅ A B   → = 0 ⇒ ( - 3 d + 16 , d - 2 , - 3 d + 15 ) ⋅ ( 3 , - 1,3 ) = 0

⇒ 3 ( - 3 d + 16 ) - ( d - 2 ) + 3 ( - 3 d + 15 ) = 0

⇒ - 9 d + 48 - d + 2 - 9 d + 45 = 0

⇒ - 19 d + 95 = 0 ⇒ 19 d = 95 ⇒ d = 95 19 = 5

Agora, substituímos esse resultado em

d - c = 1

⇒ c = d - 1 = 5 - 1 = 4

Finalmente, podemos usar d = 5 e c = 4 para obter os pontos

C = ( - 3 c + 15 , c , - 3 c + 15 ) = ( - 12 + 15,4   , - 12 + 15 ) = ( 3,4 , 3 )

D = ( - 3 d + 15 , d , - 3 d + 15 ) = ( - 15 + 15,5 , - 15 + 15 ) = ( 0,5 , 0 )

Resposta

C = ( 3,4 , 3 )

D = ( 0,5 , 0 )

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