Dados os pontos A 2,1 , 1 ,   B - 1,0 , 1 e   C ( 3,2 , - 2 ) , determinar o ponto D do eixo O z para que o volume do paralelepípedo determinado por A B → ,   A C → e A D → seja 25   u . v .

Passo 1

E aí, tudo joia?

O volume do paralelepípedo é calculado pelo módulo do produto misto entre os vetores.

Aqui a gente tem os pontos, precisamos então calcular os vetores pra começar...

Vamos fazer A B → ,   A C →   e   A D → ...

O ponto do eixo O z tem coordenadas x   e   y iguais a zero. Então D é da forma:

D ( 0,0 , z )

Passo 2

Vamos calcular os vetores então:

A B → = ( - 3 , - 1,0 )

A C → = ( 1,1 , - 3 )

A D → = ( - 2 , - 1 , z - 1 )

Agora a gente vai fazer o produto misto entre esses três vetores...

Passo 3

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t - 3 - 1 0 1 1 - 3 - 2 - 1 z - 1 = - 3 1 - 3 - 1 z - 1 + 1 1 - 3 - 2 z - 1 + 0 1 1 - 2 - 1

= - 3 z - 1 - 3 + 1 z - 1 - 6 + 0 ( - 1 + 2 )

= - 3 z - 4 + z - 7 + 0

= - 3 z + 12 + z - 7

= - 2 z + 5

A gente quer que o volume seja 25   então...

- 2 z + 5 = 25

Daí temos duas possibilidades:

- 2 z + 5 = 25 → - 2 z = 20 → z = - 10

2 z - 5 = 25 → 2 z = 3 0 → z = 15

Então temos duas possibilidades para o ponto D :

D = ( 0,0 , - 10 ) ou D = ( 0,0 , 15 )

E prontinho! 😉

Resposta

D = ( 0,0 , - 10 ) ou D = ( 0,0 , 15 )

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