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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios Propostos - Ex. 13

Sejam u → ,   v →   e   w → vetores não nulos. Prove: u → ,   v →   , w → = u → v → |   w → | se, e somente se, u → ,   v →   e   w → são dois a dois ortogonais.

Passo 1

E aí pessoal, beleza?

Vamos lembrar como calcula produto misto:

u → ,   v → ,   w → = u → ^ v → ⋅ w → = u → ^ v → w → c o s α

Em que α é o ângulo entre u → ^ v → e w → .

Além disso:

u → ^ v → = u → v → s e n θ

Em que θ é o ângulo entre os vetores.

Assim, temos:

u → ,   v → ,   w → = u → v → s e n θ w → c o s α

Para que esse resultado seja u → v → |   w → | , o s e n θ e o c o s α precisa ser igual a 1, o que só ocorre quando os vetores são dois a dois ortogonais.

Fechou! Vamos pra próxima?

Resposta

Demonstração nos passos

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71. Sejam os vetores u = 1,1 , 0 , v = 2,0 , 1 , w 1 = 3 u - 2 v ,w 2 = u + 3 v e w 3 = i + j - 2 k . Determinar o volume do paralelepípedo definido por w 1 , w 2 e w 3 .
68. Verificar se são coplanares os pontos:a) A 1,1 , 1 , B - 2 , - 1,3 , C 0,2 , - 1 e D - 1,0 , - 2 b) A 1,0 , 2 , B - 1,0 , 3 , C 2,4 , 1 e D - 1 , - 2 ,2 c) A 2,1 , 3 , B 3,2 , 4 ,C - 1 , - 1 , - 1
74. Dados os pontos A 1 , - 2,3 ,B 2 , - 1 , - 4 , C 0,2 , 0 e D - 1 , m , 1 , determinar o valor de m para que seja de 20 unidade de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores A B ,
Qual o volume do cubo determinado pelos vetores vec i , vec j e vec k ?
Verificar se são coplanares os vetores:vec u = (1 , - 1,2) , vec v (2,2 , 1) e vec w = ( - 2,0 , - 4 )