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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 27

Sejam u → , v → , a → e b → vetores não0nulos tais que u → = α a → e v → = β b → . Mostre que a n g   u → ,   v → = a n g   a → ,   b → se α β > 0 e a n g   a → ,   b → = π - a n g   a → ,   b → se α β < 0 .

Passo 1

Bom, já que queremos comparar ângulos entre vetores, vamos usar a expressão para o ângulo θ 1 entre u → e v →

cos ⁡ θ 1 = u → ⋅ v → u → v →

Assim,

cos ⁡ θ 1 = α a → ⋅ ( β b → ) α a → β b →

Passo 2

Usando que α a → = α   a → , temos que

cos ⁡ θ 1 = α β | α β |   a → ⋅ b → a → b →

Note que se θ 2 for o ângulo entre a → e b → , temos que

cos ⁡ θ 1 = ± cos ⁡ θ 2

O sinal será positivo se α β > 0 e será negativo se α β < 0 . No caso do sinal positivo, temos que

cos ⁡ θ 1 = cos ⁡ θ 2 ⇒ θ 1 = θ 2 ⇒ a n g   u → ,   v → = a n g   a → ,   b →

Já no caso do sinal negativo, usando os ângulos em radianos:

cos ⁡ θ 1 = - cos ⁡ θ 2 ⇒ θ 1 = π - θ 2 ⇒ a n g   u → ,   v → = π - a n g   a → ,   b →

Era isso que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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