A Figura 9-5 (a) mostra um paralelepípedo retângulo. Sendo α e β as medidas dos ângulos indicados e γ a medida de A B ^ C , mostre que cos ⁡ γ = s e n   α   s e n   β

Passo 1

Vamos considerar primeiro a figura:

Para simplificar um pouco nossa vida, vamos considerar uma base ortonormal ( i → ,   j → ,   k → ) , ilustrada na figura:

Vamos supor também que B A → = x e B C → = y .

Passo 2

Os vetores   B A → e   B C → podem ser escritos como:

B A → = x   cos ⁡ α   i → - s e n   α   k → = x   cos ⁡ α ,   0 ,   - s e n   α

Já o vetor   B C → :

B C → = y   cos ⁡ β   j → - s e n   β   k → = y   ( 0 , cos ⁡ β ,   - s e n   β )

Assim, o produto escalar entre eles será

B A → ⋅ B C → = x y   cos ⁡ α ,   0 ,   - s e n   α ⋅ 0 , cos ⁡ β ,   - s e n   β = x y   s e n   α   s e n   β

Passo 3

Por fim, temos que relacionar isso com o ângulo γ , sabendo que

cos ⁡ γ = B A → ⋅ B C →   B A →   B C →

Como B A → = x e B C → = y :

cos ⁡ γ = x y   s e n   α   s e n   β x y = s e n   α   s e n   β

Era isso que tínhamos que mostrar!

Resposta

Demonstração.

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