A medida angular em radianos entre u → e v → é π / 4 , u → = 5 e v → = 1 . Calcule a medida angular em radianos entre u → + v → e u → - v → .

Passo 1

Queremos o ângulo entre os vetores u → + v → e u → - v → . Para isso, usamos a fórmula

cos ⁡ θ = u → + v → ⋅ ( u → - v → ) u → + v → u → - v →

O primeiro passo é calcular o produto escalar:

u → + v → ⋅ u → - v → = u → 2 - u → ⋅ v → + u → ⋅ v → - v → 2 = 5 2 - 1 1 = 5 - 1 = 4

Passo 2

Para calcular as normas, lembremos que

u → + v → 2 = u → + v → ⋅ u → + v → = u → 2 + 2 u → ⋅ v → + v → 2

Analogamente,

u → + v → 2 = u → - v → ⋅ u → - v → = u → 2 - 2 u → ⋅ v → + v → 2

O produto escalar é dado por

u → ⋅ v → = u → u → cos ⁡ π 4 = 5 ⋅ 1 ⋅ 2 2 = 10 2 ⇒ 2 u → ⋅ v → = 10

Assim,

u → + v → 2 = 5 + 10 + 1 = 6 + 10 ⇒ u → + v → = 6 + 10

Analogamente,

u → + v → = 6 - 10

Passo 3

Desta forma,

u → + v → u → - v → = 6 + 10 ⋅ 6 - 10 = 36 - 10 = 26

Assim, como u → + v → ⋅ u → - v → = 4 , temos que

cos ⁡ θ = 4 26

Portanto, o ângulo entre os vetores é

θ = arccos ⁡ 4 26

Resposta

θ = arccos ⁡ 4 26

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