Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 14
Dados e , obtenha uma equação vetorial de .
Passo 1
O exercício fornece a equação vetorial de dois planos e quer a equação vetorial da intersecção deles, que deve ser uma reta.
Para isso, vamos achar os vetores normais de cada plano. Para o plano , os vetores diretores são
Desta forma, o vetor normal é
Já para :
Assim,
Passo 2
A interesecção dos dois planos é uma reta cujo vetor diretor é o produto vetorial dos vetores normais dos planos:
Assim, a equação da reta é do tipo
Falta acharmos um ponto que pertença a ela!
Passo 3
Nosso objetivo agora é achar um ponto que pertença as dois planos. Para isso, vamos escrever suas equações na forma
Bom, como em temos sempre , temos, em :
Vamos tentar ver o que acontece se colocarmos : e . Temos que verificar se isso é possível no plano :
Assim,
Portanto, o ponto pertence aos dois planos e, consequentemente, pertence a intersecção! Assim, vamos tomar . É importante deixar claro que existem outros pontos que você poderia usar aqui, de modo que a resposta não é única.
A equação da intersecção é
Se fizermos chegamos na resposta do livro, que também é válida, assim como muitas outras!