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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 16

Dados a →   =   ( 1,0 , 1 ) , b →   =   ( 1,1 , 2 ) e c →   =   ( 1,2 , 3 ) , pede-se um vetor u → tal que u → e b → sejam l.d. e a   → + u →   e c → sejam l.d..

Passo 1

Bom, como não temos nenhuma informação sobre o vetor u → , vamos supor que ele pode ser escrito como

u → = ( x , y , z )

onde x , y , z são valores a serem determinados. Para que u → e b → sejam l.d. devemos ter

u → = α b → ⇒ ( x , y , z ) = α   ( 1,1 , 2 ) = ( α , α , 2 α )

A partir da equação acima, conseguimos identificar que

x = y = α

z = 2 α = 2 x = 2 y

Assim, o vetor u → pode ser reescrito como:

u → = ( x , x , 2 x )

Passo 2

Agora, para determinar x , vamos usar o fato de que a   → + u →   e c → são l.d., ou seja

a   → + u → = β   c → ⇒   ( 1,0 , 1 ) + ( x , x , 2 x ) = ( 1 + x , x , 1 + 2 x ) = β ( 1,2 , 3 ) = ( β , 2 β , 3 β )

Temos então o seguinte sistema de equações:

1 + x = β

x = 2 β ⇒ β = 1 2 x

1 + 2 x = 3 β

Substituindo β = 1 2 x na primeira equação, obtemos

1 + x = β ⇒ x = β - 1 = 1 2 x - 1 ⇒ 1 2 x = - 1 ⇒ x = - 2

Com isso, podemos ver que

u → = ( x , x , 2 x ) = ( - 2 , - 2 , - 4 )

Resposta

u → = ( - 2 , - 2 , - 4 )

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