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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 10

Demonstre: se ( v → 1 ,   v → 2 , … ,   v → n ) é tal que α 1 v → 1 + α 2 v → 2 + … + α n v → n = β 1 v → 1 + β 2 v → 2 + … + β n v → n vale somente se α 1 = β 1 , α 2 = β 2 ...   α n = β n então ( v → 1 ,   v → 2 , … ,   v → n ) é LI (trata-se da recíproca do corolário anterior).

Passo 1

Da igualdade do enunciado, agrupando todos os termos, teremos:

( α 1 - β 1 ) v → 1 + ( α 2 - β 2 ) v → 2 + … + ( α n - β n ) v → n = 0

Porém, a nossa condição é que α 1 = β 1 , α 2 = β 2 ...   α n = β n , então:

( α 1 - α 1 ) v → 1 + ( α 2 - α 2 ) v → 2 + … + ( α n - α n ) v → n = 0

0 v → 1 + 0 v → 2 + … + 0 v → n = 0

Ou seja, temos α 1 = α 2 = α n = 0 , portanto, sendo todos os coeficientes iguais a 0, a sequência ( v → 1 ,   v → 2 , … ,   v → n ) é LI. :D

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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