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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 40d

Prove a parte (e) do Teorema 3.5.2

Passo 1

Nessa questão precisamos provar vec u xx vec 0 = vec 0 xx vec u = vec 0

Vamos resolver cada uma das parcelas dessa parte.

Passo 2

Vamos começar desenvolvendo vec u xx vec 0

vec u xx vec 0 = |[[vec i,vec j,vec k],[u_x,u_y,u_z],[0,0,0]]|

vec u xx vec 0 = vec i |[[u_y,u_z],[0,0]]| - vec j |[[u_x,u_z],[0,0]]| + vec k |[[u_x,u_y],[0,0]]|

vec u xx vec 0 = vec i (u_y 0 - u_z 0) - vec j (u_x 0 - u_z 0) + vec k (u_x 0 - u_y 0)

vec u xx vec 0 = vec i (0) - vec j (0) + vec k (0)

vec u xx vec 0 = vec 0

Passo 3

Agora, faremos o mesmo com vec 0 xx vec u

vec 0 xx vec u = |[[vec i,vec j,vec k],[0,0,0],[u_x,u_y,u_z]]|

vec 0 xx vec u = vec i |[[0,0],[u_y,u_z]]| - vec j |[[0,0],[u_x,u_z]]| + vec k |[[0,0],[u_x,u_y]]|

vec 0 xx vec u = vec i (0 u_z - 0 u_y) - vec j (0 u_z - 0 u_x) + vec k (0 u_y - 0 u_x)

vec 0 xx vec u = vec i (0) - vec j (0) + vec k (0)

vec 0 xx vec u = vec 0

Passo 4

Como as expansões dos produtos vetoriais são iguais. Então, demonstramos que

vec u xx vec 0 = vec 0 xx vec u = vec 0

Resposta

vec u xx vec 0 = vec 0 xx vec u = vec 0

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Dados os vetores u → = 0 ,1 , - 1 , v → = ( 2 ,- 2 ,- 2 ) e w → = ( 1 , - 1 ,2 ) , determinar o vetor x → paralelo a w → , que satisfaz à condição x → × u → = v → .
Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores u → = ( 3 ,1 ,2 ) e v → = ( 4 , - 1 ,0 ) .
Sabendo que |vec a| = 3 , |vec b| = sqrt(2) e 45 ° é o ângulo entre vec a e vec b , calcular | vec a xx vec b | .
Calcular a área do triângulo de vérticesc) A (2 , 3 , - 1) , B = (3 , 1 , - 2) e C ( - 1 , 0 , 2 )
Se |vec u xx vec v| = 3 sqrt(3) , |vec u| = 3 e 60 ° é o ângulo entre vec u e vec v , determinar |vec v| .