Enunciado

Dados os pontos distintos M e N e o número k , prove que, se k > 1 , o lugar geométrico dos pontos X cuja projeção ortogonal Q sobre a reta M N pertence ao segmento M N e satisfaz a relação X Q → 2 = k 2 M Q → N Q → é a elipse de centralidade 1 / k e eixo menor M N . O que ocorre se k = 1 ?

Passo 1

Vamos tomar um sistema x O y tal que M = - a ,   0 , N = a ,   0 , X = x 0 ,   y 0 ,   Q = x 0 , 0 . Temos:

X Q → = y 0

(supondo y 0 > 0 );

M Q → = - a - x 0 = a + x 0 ;

N Q → = a - x 0 = a - x 0 .

Pois, note que Q ∈ M N - , de modo que - a ≤ x 0 ≤ a .

Passo 2

Dessa forma, temos que

y 0 2 = k 2 a + x 0 a - x 0 ⟹ y 0 2 = k 2 a 2 - x 0 2 ∴ x 0 2 a 2 + y 0 2 k 2 a 2 = 1

Passo 3

Como k > 1 , segue que k 2 a 2 > a 2 , de modo que o denominador de y 0 2 é maior do que o denominador de x 0 2 , mostrando que M N - é o semieixo menor!

Passo 4

Se k = 1 , temos

x 0 2 a 2 + y 0 2 a 2 = 1 ⟹ x 0 2 + y 0 2 = a 2

o que mostra que temos uma circunferência de centro 0 ,   0 e raio a .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para as funções dadas f e g defina f ⋅ g e determine o domínio da função resultante. f x = 1 x - 3 e g x = x x + 1
Para as funções dadas f e g defina f ο g e determine o domínio da função resultante. f x = x 2 - 4 e g x = 4 x - 3
Para as funções dadas f e g defina f - g e determine o domínio da função resultante. f x = 1 x - 3 e g x = x x + 1
Para as funções dadas f e g defina f ο g e determine o domínio da função resultante. f x = 1 x - 3 e g x = x x + 1
Para as funções dadas f e g defina f - g e determine o domínio da função resultante. f x = x 2 - 9 e g x = x + 5