Enunciado

Dados os pontos distintos M e N e um número real não-nulo k , prove que o lugar geométrico dos pontos X tais que sua projeção ortogonal Q sobre a reta M N não pertence ao interior do segmento M N e satisfaz a relação X Q → 2 = k 2 M Q → N Q →   é a hipérbole de excentricidade 1 + k 2 e eixo transverso M N .

Passo 1

Vamos tomar um sistema x O y tal que M = - a ,   0 , N = a ,   0 , X = x 0 ,   y 0 ,   Q = x 0 , 0 . Temos:

X Q → = y 0

(supondo y 0 > 0 );

M Q → = - a - x 0 = x 0 + a ;

N Q → = a - x 0 = x 0 - a .

Pois, note que Q ∉ M N - , de modo que x 0 > a .

Passo 2

Temos que

y 0 2 = k 2 x 0 + a x 0 - a ⟹

x 0 2 a 2 - y 0 2 k 2 a 2 = 1

Que é a equação de uma hipérbole, com eixo transverso coincidindo com o eixo O x .

Passo 3

A excentricidade pode ser calculada como

e = c a = b 2 + a 2 a = k 2 a 2 + a 2 a ⟹

e = k 2 + 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C ( 2 , - 3 ) , eixo real paralelo a 0 y , passando por ( 3 , - 1 ) e ( - 1,0 ) .
Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.Centro C ( - 2 , 1 ) , eixo real paralelo a 0 x , passando por ( 0 , 2 ) e ( - 5,6 ) .
Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações: x 2 - y 2 - 8 x - 4 y + 11 = 0
Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçe o gráfico. 4 x 2 - y 2 - 32 x + 4 y + 24 = 0
Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçe o gráfico. 16 x 2 - 9 y 2 - 64 x - 18 y + 199 = 0