Dados os pontos distintos M e N e um número real não-nulo k , prove que o lugar geométrico dos pontos X tais que sua projeção ortogonal Q sobre a reta M N não pertence ao interior do segmento M N e satisfaz a relação X Q → 2 = k 2 M Q → N Q →   é a hipérbole de excentricidade 1 + k 2 e eixo transverso M N .

Passo 1

Vamos tomar um sistema x O y tal que M = - a ,   0 , N = a ,   0 , X = x 0 ,   y 0 ,   Q = x 0 , 0 . Temos:

X Q → = y 0

(supondo y 0 > 0 );

M Q → = - a - x 0 = x 0 + a ;

N Q → = a - x 0 = x 0 - a .

Pois, note que Q ∉ M N - , de modo que x 0 > a .

Passo 2

Temos que

y 0 2 = k 2 x 0 + a x 0 - a ⟹

x 0 2 a 2 - y 0 2 k 2 a 2 = 1

Que é a equação de uma hipérbole, com eixo transverso coincidindo com o eixo O x .

Passo 3

A excentricidade pode ser calculada como

e = c a = b 2 + a 2 a = k 2 a 2 + a 2 a ⟹

e = k 2 + 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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