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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 146

Dados os pontos distintos A 1 e A 2 e a reta t , prove que

  1. se t é perpendicular a A 1 A 2 , uma condição necessária e suficiente para que t seja tangente a alguma hipérbole de vértices A 1 e A 2 é que esta reta contenha A 1 ou A 2 ;
  2. se t não é perpendicular nem paralela a A 1 A 2 , uma condição necessária e suficiente para que t seja tangente a alguma hipérbole de vértices A 1 e A 2 é que esta reta separa A 1 e A 2 e não contenha seu ponto médio.

Passo 1

Considere um sistema de coordenadas tal que A 1 = - a ,   0 , A 2 = a ,   0 com a > 0 e seja P = p , 0 o ponto de intersecção de t com A 1 A 2 . Considere, também, a hipérbole de equação

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Passo 2

  1. Nesse caso, a reta t será descrita por x = p .

    2. Fazendo x = p :

    p 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ⟹ y 2 b 2 = p 2 a 2 - 1

    Para que a solução seja única (afinal, t é uma reta tangente), devemos impor

    p 2 a 2 - 1 = 0 ⟹ p 2 = a 2 ⟹ p = ± a

    Assim, veja que p contém A 1 e A 2

    Passo 3

  2. Agora, seja t descrita por y = m x - p , com m ≠ 0 .

Existir a hipérbole equivale a existir b positivo satisfazendo m 2 ≠ b 2 / a 2 , pois se assim fosse, t seria uma assíntota da hipérbole; e como sabemos, assíntotas não podem ser retas tangentes.

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ⟹ x 2 a 2 - m 2 x - p 2 b 2 = 1 ⟹ b 2 x 2 - a 2 m 2 x 2 - 2 p x + p 2 = a 2 b 2

x 2 b 2 - a 2 m 2 + x 2 a 2 m 2 p - a 2 b 2 - a 2 m 2 p 2 = 0

Fazendo Δ = 0 :

4 a 4 m 4 p 2 + 4 b 2 - a 2 m 2 a 2 b 2 + a 2 m 2 p 2 = 0 ⟹

a 2 b 4 + a 2 m 2 p 2 b 2 - a 4 m 2 b 2 = 0 ⟹

a 2 b 2 b 2 + m 2 p 2 - a 2 m 2 = 0 ⟹

m 2 a 2 - p 2 + b 2 = 0 ⟹

b 2 = m 2 a 2 - p 2 > 0

Note que p ≠ 0 , pois caso contrário recaímos na equação da reta assíntota.

Passo 3

A condição b 2 = m 2 a 2 - p 2 equivale a t separar A 1 e A 2 , já que fazendo y = 0 , teremos x = p , com p 2 < a 2 . Além disso, como p ≠ 0 , a reta não irá cortar A 1 e A 2 em seu ponto médio (que é a origem do sistema de coordenadas).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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