Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 21.Exercício - Ex. 9

O ponto é um dos vértices de um cubo de centro , que tem uma face contida no plano e outras duas paralelas ao plano . Faça uma mudança de coordenadas conveniente para que o cubo fique em posição de total simetria em relação ao novo sistema, como no exercício resolvido anterior. Em seguida, calcule as coordenadas dos outros sete vértices em relação aos dois sistemas.

Passo 1

De uma certa forma, esta questão é bem parecida com a questão resolvida 21-4. Inclusive, iremos utilizar inicialmente alguns resultados desenvolvidos nesta questão.

A ideia é fazer mudanças no sistema de coordenadas. Tanto translação quanto rotação.

Em relação a translação, iremos transladar da origem para , o centro do nosso cubo.

Já em relação a translação, iremos fazer uma translação de radianos devido a face contida . Inclusive, foi esta a rotação feita na questão resolvida. Utilizaremos as matrizes de rotação lá definidas.

Mas, na grande realidade, esta rotação, por si só, não é suficiente, precisamos rotacionar também em torno de outro eixo. Mas, vamos discutir isto posteriormente, resolvendo passo a passo a questão para não nos confundirmos.

Passo 2

Vamos fazer uma rotação em torno de com translação. A ideia é escrever as novas coordenadas em função das coordenadas antigas. Portando, temos que resolver a seguinte relação

Sendo as coordenadas da nova origem e a matriz definida na questão resolvida 21-4. Portanto, temos:

Passo 3

Vamos transformar a equação de para o novo sistema. Para isto, precisamos das relações de , e em função das novas variáveis (será quase igual ao que fizemos anteriormente). Portanto,

Sendo as coordenadas da nova origem e a matriz definida na questão resolvida 21-4. Portanto, temos:

Substituindo estas relações no plano , teremos:

Esta mudança foi importante para verificarmos que temos um plano perpendicular ao plano . Portanto, vamos ver o ângulo formado entre e para saber qual a nossa rotação. Então,

Portanto, o ângulo de rotação é de 45° em torno do eixo

Passo 4

Vamos fazer uma rotação do sistema de 45° em torno do eixo , obtendo um novo sistema . Portanto,

Substituindo corretamente, temos:

E, da mesma forma, vamos escrever o antigo sistema em função do novo (é isto que estamos buscando). Portanto,

Passo 5

Mas por que no Passo 3 precisávamos escrever tanto como função de quanto o inverso? Já no Passo 4, isto não era necessário, apesar de fazermos?

Então, no Passo 3, a gente precisava obter o novo sistema rotacionado para poder trabalhar no Passo 4, e também precisavamos mudar o plano para . Por isto utilizamos as duas relações.

Já no Passo 4, só precisamos escrever como função de . Só precisamos disto, pois sabemos que os vértices do nosso cubo são dados pelas 8 possíveis combinações . Vamos levar do sistema para e depois para .