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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 18c

Prove que:

(a) [vec u ^^ vec v , vec a ^^ vec b , vec x ^^ vec y] = |[[[,vec u,,,vec a,,,vec b,],[,vec u,,,vec x,,,vec y,]],[[,vec v,,,,vec a,,,vec b,],[,vec v,,,vec x,,,vec y,]]]|

Passo 1

Bora lá!

Para essa questão, vamos usar a definição de produto misto e a fómula do duplo produto vetorial, beleza?

Notem, que vamos usar o mesmo raciocínio que usamos nos itens anteriores, só que agora temos mais vetores 😉.

Começando pela definição de produto misto, temos:

[vec u ^^ vec v , vec a ^^ vec b , vec x ^^ vec y] = ((vec u ^^ vec v) ^^ (vec a ^^ vec b)) . vec x ^^ vec y ( 1 )

Já pela fórmula do duplo produto vetorial:

((vec u ^^ vec v) ^^ (vec a ^^ vec b)) = - (vec v . vec a ^^ vec b) . vec u + (vec u . vec a ^^ vec b) . vec v

((vec u ^^ vec v) ^^ (vec a ^^ vec b)) = - (vec v ^^ vec a . vec b) . vec u + (vec u ^^ vec a . vec b) . vec v

((vec u ^^ vec v) ^^ (vec a ^^ vec b)) = - [vec v , vec a , vec b] . vec u + [vec u , vec a , vec b] . vec v ( 2 )

Passo 2

Substituindo (2) em (1), temos:

[vec u ^^ vec v , vec a ^^ vec b , vec x ^^ vec y] = ((vec u ^^ vec v) ^^ (vec a ^^ vec b)) . vec x ^^ vec y

[vec u ^^ vec v , vec a ^^ vec b , vec x ^^ vec y] = (- [vec v , vec a , vec b] . vec u + [vec u , vec a , vec b] . vec v) . (vec x ^^ vec y)

[vec u ^^ vec v , vec a ^^ vec b , vec x ^^ vec y] = [vec u , vec a , vec b] . (vec v . vec x ^^ vec y) - [vec v , vec a , vec b] . (vec u . vec x ^^ vec y)

[vec u ^^ vec v , vec a ^^ vec b , vec x ^^ vec y] = [vec u , vec a , vec b] . (vec v ^^ vec x . vec y) - [vec v , vec a , vec b] . (vec u ^^ vec x . vec y)

[vec u ^^ vec v , vec a ^^ vec b , vec x ^^ vec y] = [vec u , vec a , vec b] . [vec v , vec x , vec y] - [vec v , vec a , vec b] . [vec u , vec x , vec y]

[vec u ^^ vec v , vec a ^^ vec b , vec x ^^ vec y] = |[[[,vec u,,,vec a,,,vec b,],[,vec u,,,vec x,,,vec y,]],[[,vec v,,,,vec a,,,vec b,],[,vec v,,,vec x,,,vec y,]]]|

Notem, que as manupilações feitas são sempre para tentarmos chegar na igualdade dada no enunciado, ok?

Portanto, provamos o que foi pedido 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sendo |vec u| = 3 , |vec v| = 4 e 120 ° o ângulo entre os vetores vec u e vec v , calcular:|vec u + vec v|