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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 42f

Dados os vetores vec u = (2 , - 1 , 1) , vec v = ( 1 , - 1 , 0 ) e vec w = ( - 1 , 2 , 2 ) , calcular:

f) (vec u xx vec v) . vec w e vec u . ( vec v xx vec w )

Passo 1

Vamos começar pela primeira operação: (vec u xx vec v) . vec w .

Do item e, temos que vec u xx vec v = ( 1 , 1 , - 1 ) , pois ele é dado pelo determinante:

vec u xx vec v = |[[hat i,hat j,hat k],[2,-,1,1],[1,-,1,0]]|

vec u xx vec v = 1 hat i + 1 hat j - 1 hat k

Então, o produto vetorial é dado por

vec u xx vec v = ( 1 , 1 , - 1 )

Agora que fizemos o produto vetorial dentro do parênteses, vamos fazer o produto escalar de (vec u xx vec v) . vec w , dado por

(vec u xx vec v) . vec w = (1 , 1 , - 1) . ( - 1 , 2 , 2 )

(vec u xx vec v) . vec w = - 1 + 2 - 2

Então

(vec u xx vec v) . vec w = - 1

Passo 2

Agora vamos calcular vec u . ( vec v xx vec w ) . Vamos começar fazendo o produto vetorial dentro do parênteses, vec v xx vec w = ( 1 , - 1 , 0 ) xx ( - 1 , 2 , 2 ) , ele é dado pelo determinante

vec v xx vec w = |[[hat i,hat j,hat k],[1,-,1,0],[-,1,2,2]]|

vec v xx vec w = - 2 hat i - 2 hat j + 1 hat k

vec v xx vec w = ( - 2 , - 2 , 1 )

Agora que fizemos o produto vetorial, basta fazermos o produto escalar vec u . ( vec v xx vec w ) :

vec u . (vec v xx vec w) = (2 , - 1 , 1) . ( - 2 , - 2 , 1 )

vec u . (vec v xx vec w) = - 4 + 2 + 1

vec u . (vec v xx vec w) = - 1

Opa, reparou que deu o mesmo valor que (vec u xx vec v) . vec w ??

Então vimos na prática que (vec u xx vec v) . vec w = vec u . (vec v xx vec w) :)

Resposta

(vec u xx vec v) . vec w = - 1

vec u . (vec v xx vec w) = - 1

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Se a = i - 2 k e b = j + k , determine a × b . Esboce a , b e a × b como vetores com início na origem.
Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b . a = 6,0 , - 2 , b = 0,8 , 0
Se a + b + c = 0 , mostre que a xx b = b xx c = c xx a
Diga se cada expressão a seguir tem sentido. Se não, explique por quê. Se tiver, diga se é um vetor ou um escalar. a ∙ b × c a × b ∙ c a × b × c a ∙ b ∙ c a ∙ b × c ∙ d a × b ∙ ( c × d )
Se a * b = sqrt(3) e a xx b = 〈1,2 , 2〉 ,defina o ângulo entre a e b .