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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 29

(a) Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R e

(b) calcule a área do triângulo PQR.

P = 1,0 , 1 ,   Q = - 2,1 , 3   e   R = ( 4,2 , 5 )

Passo 1

  1. Primeira coisa: vamos achar os vetores.

    2. A gente vai fazer P Q → e P R → (faz sempre partindo do mesmo ponto)...

    P Q → = - 3,1 , 2

    P R → = ( 3,2 , 4 )

    Pra achar um vetor ortogonal, é só fazer o produto vetorial desses dois:

    d e t i j k - 3 1 2 3 2 4 = i 1 2 2 4 - j - 3 2 3 4 + k - 3 1 3 2

    = 0 i + 18 j - 9 k

    (a gente faz o determinante de cada matriz 2 × 2 ali)

    E encontramos o vetor:

    ( 0,18 , - 9 )

    Vetor não nulo ortogonal encontrado✔

    Passo 2

  2. A área do triângulo que passar pelos três pontos pode ser calculada fazendo:

1 2 | P Q → ×   P R → |

O produto vetorial a gente já tem, vamos fazer a norma:

P Q → ×   P R → =     0 2 + 18 2 + - 9 2 = 405 = 9 5

A área então vai ser...

A = 1 2 9 5 = 9 2 5

Prontinho🤓

Resposta

  1. 0,18 , - 9
  2. A = 9 2 5
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Ache X tal que X xx ( vec i + vec k ) = 2 ( vec i + vec j - vec k ) e ‖X‖ = sqrt(6) .
Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5), D = (2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo. Calcule a sua área.
Dado o triangulo de vértices A = (0, 1, −1), B = (−2, 0, 1) e C = (1, −2, 0), determine a medida da altura relativa ao lado BC.
Sabemos que v → = ( 2 a → + b → ) ^ ( a → - b → ) , a → = 4 , b → = 3 e o ângulo entre a → e b → mede 30 ° . Calcule | v → | .
São dados u → = 1,1 , 0 ,v → = - 1,2 , 1ew → = ( 2,0 , - 1 ) .Calcule u → ^ v →ev →^ w → . Calcule u → ^ v → ^ w →eu → ^ v → ^w → . O produto vetorial é operação associativa? Justifique sua resposta.