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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 40

Dados os vetores vec u = (3,0 , 1) e vec v = (- 2,1 , 2) , determinar p r o j_vec v vec u e p r o j_u vec v .

Passo 1

Podemos calcular a projeção ortogonal de vec v sobre vec u da seguinte forma:

p r o j_vec u vec v = ((vec v * vec u)/(vec u * vec u)) vec u

E para calculamos a projeção ortogonal de vec u sobre vec v é só utilizar o mesmo conceito da fórmula, mas trocando os vetores de posição:

p r o j_vec v vec u = ((vec u * vec v)/(vec v * vec v)) vec v

Vamos então calcular!!

Passo 2

Vamos primeiro calcular p r o j_vec v vec u :

p r o j_vec v vec u = ((vec u * vec v)/(vec v * vec v)) vec v

E vamos calcular os produtos escalares separadamente:

vec u * vec v = (3,0 , 1) * (- 2,1 , 2) = 3 * (- 2) + 0 * 1 + 1 * 2 = - 6 + 0 + 2 = - 4

vec v * vec v = (- 2,1 , 2) * (- 2,1 , 2) = (- 2) * (- 2) + 1 * 1 + 2 * 2 = 4 + 1 + 4 = 9

Pronto, agora é só substituir:

p r o j_vec v vec u = ((vec u * vec v)/(vec v * vec v)) vec v = ((- 4)/(9)) (- 2,1 , 2) = (((- 4)/(9)) * (- 2) , ((- 4)/(9)) * 1 , ((- 4)/(9)) * 2) = ((8)/(9) , - (4)/(9) , - (8)/(9))

Passo 3

E agora vamos calcular p r o j_vec u vec v :

p r o j_vec u vec v = ((vec v * vec u)/(vec u * vec u)) vec u

Calculando os produtos escalares aqui também separadamente:

vec v * vec u = vec u * vec v = - 4

vec u * vec u = (3,0 , 1) * (3,0 , 1) = 3 * 3 + 0 * 0 + 1 * 1 = 9 + 0 + 1 = 10

Vamos agora substituir:

p r o j_vec u vec v = ((vec v * vec u)/(vec u * vec u)) vec u = ((- 4)/(10)) (3,0 , 1) = (- (2)/(5)) (3,0 , 1) =

= ((- (2)/(5)) * 3 , (- (2)/(5)) * 0 , (- (2)/(5)) * 1) = (- (6)/(5) , 0 , - (2)/(5))

Resposta

p r o j_vec v vec u = ((8)/(9) , - (4)/(9) , - (8)/(9)) e p r o j_vec u vec v = (- (6)/(5) , 0 , - (2)/(5))

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