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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 42c

Para cada um dos pares de vetores u → e v → , encontrar a projeção ortogonal de v → sobre u → e decompor v → como soma de v → 1 com v → 2 , sendo v → 1 | | u → e v → 2 ⊥ u → .

u → = 2,0 , 0 e v → = 3,5 , 4

Passo 1

Vamos ver o que é uma projeção ortogonal:

Sejam os vetores u → e v → não nulos e θ o ângulo entre eles, podemos decompor um dos vetores, digamos v → , tal que:

v → = v → 1 + v → 2

Sendo v → 1 ∥ u → e v → 2 ⊥ u → .

O vetor v → 1 é chamado projeção ortogonal de v → sobre u → e indicado por:

v → 1 = p r o j u → v →

Podemos calcular a projeção ortogonal de v → sobre u → da seguinte forma:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u →

Vamos então calcular a projeção primeiro.

Passo 2

Vamos calcular p r o j u → v → usando:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u →

Aqui vamos calcular os produtos escalares separadamente:

v → ⋅ u → = 3,5 , 4 ⋅ 2,0 , 0 = 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 0 + 4 ⋅ 0 = 6 + 0 + 0 = 6

u → ⋅ u → = 2,0 , 0 ⋅ 2,0 , 0 = 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 4 + 0 + 0 = 4

Agora é só substituir:

p r o j u → v → = v → ⋅ u → u → ⋅ u → u → = 6 4 2,0 , 0 = 3 2 2,0 , 0 = 3 2 ⋅ 2 , 3 2 ⋅ 0 , 3 2 ⋅ 0 = 3,0 , 0 = v → 1

Pronto, achamos v → 1 .

Passo 3

Para achar v → 2 é simples, é só usar a expressão:

v → = v → 1 + v → 2

Vamos substituir os vetores:

v → = v → 1 + v → 2 → v → 2 = v → - v → 1 → v → 2 = 3,5 , 4 - 3,0 , 0 →

→ v → 2 = 3 - 3,5 - 0,4 - 0 → v → 2 = 0,5 , 4

Pronto, achamos a decomposição de v → em v → 1 e v → 2 .

Resposta

v → 1 = 3,0 , 0 e v → 2 = 0,5 , 4

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Determine u → ortogonal a ( - 3 ,0 ,1 ) tal que u → ⋅ 1 ,4 ,5 = 24 e u → ⋅ - 1 ,1 ,0 = 1 .
Obtenha um vetor u → ortogonal a v → = ( 4 ,- 1 ,5 ) e w → = ( 1 ,- 2 ,3 ) tal que u → ⋅ 1 ,1 ,1 = - 1 .
Decomponha u → = ( 1 ,0 ,3 ) como soma dos vetores v → e w → tais que v → , ( 1 ,1 ,1 ) e ( - 1 ,1 ,2 ) sejam LD e w → seja ortogonal aos dois últimos.
Obtenha u → ortogonal a ( 1 ,1 ,0 ) tal que u → = 2 e a medida angular em graus entre u → e ( 1 ,- 1 ,0 ) seja 45 ° .
a) Obtenha os vetores de norma 3 3 que são ortogonais a u → = ( 2 ,3 ,- 1 ) e a v → = ( 2 ,- 4 ,6 ) .b) Qual dos vetores obtidos no item (a) forma ângulo agudo com ( 1 ,0 ,0 ) ?