Sejam A 2,1 , 3 , B m , 3,5 e C 0,4 , 1 vértices de um triângulo (Figura 2.18 ) responda:

Calcular a medida da projeção do cateto A B sobre a hipotenusa B C .

Passo 1

Para calcular a projeção do cateto A B sobre a hipotenusa B C vamos primeiro encontrar os vetores A B → e B C → :

A B → = B - A = m , 3,5 - 2,1 , 3 = m - 2,3 - 1,5 - 3 = m - 2,2 , 2

B C → = C - B = 0,4 , 1 - m , 3,5 = 0 - m , 4 - 3,1 - 5 = - m , 1 , - 4

E já encontramos na letra a) desse exercício o valor de m = 3 , vamos então substituir:

A B → = m - 2,2 , 2 = 3 - 2,2 , 2 = 1,2 , 2

B C → = - m , 1 , - 4 = - 3,1 , - 4

Passo 2

Podemos calcular a projeção ortogonal de A B → sobre B C → da seguinte forma:

p r o j B C → A B → = A B → ⋅ B C → B C → ⋅ B C → B C →

Vamos calcular os produtos escalares separadamente:

A B → ⋅ B C → = 1,2 , 2 ⋅ - 3,1 , - 4 = 1 ⋅ - 3 + 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ - 4 = - 3 + 2 - 8 = - 9

B C → ⋅ B C → = - 3,1 , - 4 ⋅ - 3,1 , - 4 = - 3   ⋅ - 3 + 1 ⋅ 1 + - 4 ⋅ - 4 = 9 + 1 + 16 = 26

Pronto, agora é só substituir:

p r o j B C → A B → = A B → ⋅ B C → B C → ⋅ B C → B C → = - 9 26 - 3,1 , - 4 = - 9 26 ⋅ - 3 , - 9 26 ⋅ 1 , - 9 26 ⋅ - 4 =

= 27 26 , - 9 26 , 36 26

Passo 3

Achamos a projeção, para encontrar a medida da projeção é só calcular o seu módulo:

p r o j B C → A B → = 27 26 , - 9 26 , 36 26 = 27 26 2 + - 9 26 2 + 36 26 2 = 729 676 + 81 676 + 1296 676 =

= 2106 676 = 81 26 = 9 26 26

Pronto, achamos que a medida da projeção do cateto A B sobre a hipotenusa B C é 9 26 26 .

Resposta

p r o j B C → A B → = 9 26 26

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