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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 1.Exercícios Propostos - Ex. 24

No paralelogramo ABCD ao lado, temos D E     → = α   D C → , 3 B F     → = F C → e G é a interseção das retas A E ̄ e D F ̄ .

  1. Determine α para termos A G     → = 4 G E → ;
  2. a seguir, expresse w     → = C G →   como combinação linear de u     → = A B → e v     → = A D → .

Passo 1

  1. Fala, galerinha! Nessa questão vamos seguir mais ou menos o mesmo raciocínio que as demais. Vamos obter D E     → tanto da expressão D E     → = α   D C → como da soma de outros vetores, igualar os dois resultados e descobrir α . Antes disso, devemos lembrar que temos um paralelogramo, ou seja, lados opostos são paralelos e de mesmo tamanho. Assim, D C → = A B → = u → e B C → = A D → = v → . A partir da figura, podemos notar que

    2. D G → = β D F → = β ( D C → + C F → ) = β ( D C → - F C → ) = β ( u → - 3 4 v → )

    onde usamos o fato de que

    B C → = B F → + F C → = 3 B F → + B F → = 4 B F → ⇒ B F → = 1 4 B C → ⇒ F C → = 3 B F → = 3 4 B C → .

    Além disso, temos o seguinte detalhe

    A E     → = A G     → + G E → = 4 G E → + G E → = 5 G E → ⇒ G E → = 1 5 A E     →

    Por outro lado, temos

    A E     → = A D     → + D E     → = A D     → + α D C     → = v     → + α u → ⇒ G E → = 1 5 A E     → = 1 5 ( v     → + α u → ) .

    Agora, podemos escrever D E     → de duas formas diferentes usando os resultados acima

    D E     → = α   D C → = α u →

    D E     → = D G → + G E → = β ( u → - 3 4 v → ) + 1 5 ( v     → + α u → ) = ( β + α 5 ) u → + ( 1 5 - 3 β 4 ) v     →

    Igualando as duas expressões acima, obtemos

    α u → = ( β + α 5 ) u → + ( 1 5 - 3 β 4 ) v     → ⇒ ( β + α 5 - α ) u → = ( 3 β 4 - 1 5 ) v     →

    Como u → e v     → , a relação acima só pode ser válida se

    3 β 4 - 1 5 = 0 ⇒ 3 β 4 = 1 5 ⇒ β = 1 5 ⋅ 4 3 = 4 15

    β + α 5 - α = β - 4 α 5 = 0 ⇒ β = 4 α 5 ⇒ α = 5 β 4 = 5 4 4 15 = 1 3

    Passo 2

  2. Nesse caso, temos

w     → = C G → = C F → + F G → = - F C → - G F → = - 3 4 B C → - ( 1 - β ) D F → = - 3 4 v → - ( 1 - 4 15 ) ( u → - 3 4 v → )

⇒ w     → = - 3 4 v → - 11 15 ( u → - 3 4 v → ) = - 11 15 u → + 3 4 ( 11 15 - 1 ) v → = - 11 15 u → + 3 4 ( - 4 15 ) v → = - 11 15 u → - 3 15 v →

onde usamos β = 4 15 e o fato de que

D F → = D G → + G F → = β D F → + G F → ⇒ G F →

⇒ G F → = ( 1 - β ) D F → = ( 1 - β ) ( D C → + C F → ) = ( 1 - β ) ( D C → - F C → ) = ( 1 - β ) ( u → - 3 4 v → )

Resposta

  1. α = 1 3
  2. w     → = - 11 15 u → - 3 15 v →

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