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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 12

  1. É possível escrever ( 0,0 , 1 ) como combinação linear de ( 1,2 , 1 ) , ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 1 )   ?
  2. Se quatro vetores de V 3 são sempre l.d., como interpretar a resposta da parte a)?

Passo 1

Tudo bem, gente?

  1. Para saber se é possível escrever ( 0,0 , 1 ) como combinação linear de ( 1,2 , 1 ) , ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 1 )   , temos que escrever

    2. ( 0,0 , 1 ) = α ( 1,2 , 1 ) + β   ( 1,0 , 1 ) + γ ( 1,1 , 1 )

    encontrar um sistema de equação e ver se é possível determinar α , β   , γ . Vamos desenvolver um pouco mais a equação acima:

    ( 0,0 , 1 ) = α ( 1,2 , 1 ) + β   ( 1,0 , 1 ) + γ ( 1,1 , 1 ) = ( α + β + γ , 2 α + γ , α + β + γ )

    Assim, temos o seguinte sistema de equações:

    α + β + γ = 0

    2 α + γ = 0

    α + β + γ = 1

    Opa! Espera um pouco, não podemos ter α + β + γ = 0 e α + β + γ = 1 ao mesmo tempo. O sistema não tem solução e, então, não podemos escrever ( 0,0 , 1 ) como combinação linear de ( 1,2 , 1 ) , ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 1 )   .

    Passo 2

  2. Pela definição de dependência linear, um dos vetores deve ser combinação linear dos demais. No conjunto de vetores do item a), esse vetor não ( 0,0 , 1 ) , mas pode ser qualquer um dos demais. De fato, não é difícil de ver que

( 1,1 , 1 )   = 1 2 ( 1,2 , 1 ) + 1 2 ( 1,0 , 1 ) + 0 ( 0,0 , 1 )

Logo, o conjunto continua sendo l.d. apesar de ( 0,0 , 1 ) não ser combinação linear de ( 1,2 , 1 ) , ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 1 )   .

Resposta

  1. Não.
  2. Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que:a) ( u → ,v → ) é LD → ( u → ,v → ,w → ) é LD.b) ( u → ,v → ,w → ) é LI → ( u → ,v → ) é LI.c) ( u → ,v → ) é LD ⇔ ( u → + v → ,u → - v → ) é LD.
No tetraedro A B C D , sejam M , N e P , respectivamente, os pontos médios de B D ,C D e A C , e G o baricentro do triângulo M N P .a) Exprima B G → como combinação linear de B A → ,B C → ,B D → .
Suponha que ( u → ,v → ,w → ) seja LI. Dado t → , existem α ,β e γ tais que t → = α u → + β v → + γ w → (Proposição 6-8). Prove: ( u → + t → ,v → + t → ,w → + t → ) é LI ⇔ α + β + γ + 1 ≠ 0 .
Em cada caso, é descrita uma alteração efetuada na tripla LI ( u → ,v → ,w → ) . Baseando-se na sua intuição, dê um palpite: a sequência obtida após a alteração é também LI? Em seguida, tente provar q
10. Mostre que se { v 1 → , v 2 → , v 3 →} for um conjunto linearmente independente de vetores, então também o são { v 1 → , v 2 → } , { v 1 → , v 3 →} , { v 2 → , v 3 → } , { v 1 → } , { v 2 → } e {