1. É possível escrever ( 0,0 , 1 ) como combinação linear de ( 1,2 , 1 ) , ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 1 )   ?
  2. Se quatro vetores de V 3 são sempre l.d., como interpretar a resposta da parte a)?

Passo 1

Tudo bem, gente?

  1. Para saber se é possível escrever ( 0,0 , 1 ) como combinação linear de ( 1,2 , 1 ) , ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 1 )   , temos que escrever
  2. ( 0,0 , 1 ) = α ( 1,2 , 1 ) + β   ( 1,0 , 1 ) + γ ( 1,1 , 1 )

    encontrar um sistema de equação e ver se é possível determinar α , β   , γ . Vamos desenvolver um pouco mais a equação acima:

    ( 0,0 , 1 ) = α ( 1,2 , 1 ) + β   ( 1,0 , 1 ) + γ ( 1,1 , 1 ) = ( α + β + γ , 2 α + γ , α + β + γ )

    Assim, temos o seguinte sistema de equações:

    α + β + γ = 0

    2 α + γ = 0

    α + β + γ = 1

    Opa! Espera um pouco, não podemos ter α + β + γ = 0 e α + β + γ = 1 ao mesmo tempo. O sistema não tem solução e, então, não podemos escrever ( 0,0 , 1 ) como combinação linear de ( 1,2 , 1 ) , ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 1 )   .

    Passo 2

  3. Pela definição de dependência linear, um dos vetores deve ser combinação linear dos demais. No conjunto de vetores do item a), esse vetor não ( 0,0 , 1 ) , mas pode ser qualquer um dos demais. De fato, não é difícil de ver que

( 1,1 , 1 )   = 1 2 ( 1,2 , 1 ) + 1 2 ( 1,0 , 1 ) + 0 ( 0,0 , 1 )

Logo, o conjunto continua sendo l.d. apesar de ( 0,0 , 1 ) não ser combinação linear de ( 1,2 , 1 ) , ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 1 )   .

Resposta

  1. Não.
  2. Veja a resolução acima.

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