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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 15

Obtenha um vetor vec u ortogonal a   vec v = ( 4 , - 1 , 5 ) e vec w = ( 1 , - 2 , 3 ) tal que vec u * (1 , 1 , 1) = - 1 .

Passo 1

Devemos achar o vetor vec u = ( x , y , z ) que seja ortogonal a vec v = ( 4 , - 1 , 5 ) e vec w = ( 1 , - 2 , 3 ) . Assim,

(x , y , z) * (4 , - 1 , 5) = 0 => 4 x - y + 5 z = 0

(x , y , z) * (1 , - 2 , 3) = 0 => x - 2 y + 3 z = 0

Além disso, temos que

(x , y , z) * (1 , 1 , 1) = - 1 => x + y + z = - 1

Passo 2

Temos que resolver o sistema:

{[[4 x - y + 5 z = 0],[x - 2 y + 3 z = 0],[x + y + z = - 1]])

Isolando y na primeira equação:

y = 4 x + 5 z

Substituindo nas outras duas:

{[[x - 2 (4 x + 5 z) + 3 z = 0],[x + 4 x + 5 z + z = - 1]]) => {[[- 7 x - 7 z = 0],[5 x + 6 z = - 1]])

Passo 3

Temos que z = - x , de modo que

5 x - 6 x = - 1 => x = 1 => z = - 1

Assim,

y = 4 - 5 = - 1

Portanto,

vec u = ( 1 , - 1 , - 1 )

Resposta

vec u = ( 1 , - 1 , - 1 )

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