Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 65
Sendo , e , aplique o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal a partir da base .
Passo 1
O problema quer que apliquemos o método de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base. Queremos achar uma base que seja ortogonal primeiro. Para isso, vamos tomar
O segundo vetor será menos a projeção de sobre :
Portanto,
Por simplicidade, vamos desconsiderar os denominadores e tomar um novo paralelo ao anterior:
Passo 2
Para achar , fazemos
Vamos calcular as projeções:
Portanto,
Assim como fizemos no passo 1, por simplicidades, vamos tomar
Passo 3
Já construímos uma base ortogonal, agora vamos normalizar cada vetor. Para isso, basta dividir o vetor pela norma:
Portanto, a base é composta pelos vetores:
Resposta
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Sejam, em relação a uma base ortonormal, u → = ( 1 ,1 ,- 1 ) / 3 , v → = ( 0 ,1 ,1 ) / 2 , w → = ( 2 ,- 1 ,1 ) / 6 e a → = ( 3 ,- 2 ,- 1 ) . Prove que ( u → ,v → ,w → ) é base ortonormal e calcule as
Determine os vetores unitários u → = x , y ,z B tais que a projeção ortogonal de u → sobre k → seja k → / 2 e a medida angular entre v → = x ,y ,0 B e i → seja π / 6 radianos.
Prove que, se λ ≠ 0 e u → ≠ 0 → , então p r o j u → v → = p r o j λ u → v → .
a) Mostre que, se u → é unitário, então p r o j u →v → = v → ⋅ u → u → .b) Seja B = ( i → ,j → ,k → ) uma base ortonormal. Mostre que todo vetor u → é a soma de suas projeções ortogonais sobre i → , j
Prove que as bissetrizes de ângulos adjacentes suplementares são perpendiculares.