A Figura 9-5 (b), as arestas A B , A C e A D do tetraedro A B C D medem, respectivamente, 2 , 3 e 4 ; os ângulos B Â C , C Â D e D Â B mede, respectivamente, 90 ° , 60 ° e 60 ° ; M é ponto médio de B C , e N é ponto médio de C D . Calcule o cosseno do ângulo M Â N .

Passo 1

Vamos considerar primeiro a figura:

Vamos adotar a base u → ,   v → ,   w → para resolver o problema, com u → = A B → , v → = A C → e w → = A D → . Sabemos que

u → = 2 ,               v → = 3                 e               w → = 4

Além disso,

a n g   u → ,   v → = 90 ° ,                 a n g   u → ,   w → = 60 °                   e                 a n g   v → ,   w → = 60 °

Portanto:

u → ⋅ u → = 2 2 = 4 ,                 v → ⋅ v → = 3 2 = 9                   e               w → ⋅ w → = 4 2 = 16

u → ⋅ v → = 2 ⋅ 3 ⋅ cos ⁡ 90 ° = 0

u → ⋅ w → = 2 ⋅ 4 ⋅ cos ⁡ 60 ° = 4

v → ⋅ w → = 3 ⋅ 4 ⋅ cos ⁡ 60 ° = 6

Passo 2

O passo inicial é escrever os vetores   A M → e   A N → nessa base:

A M → = A B → + B M → = A B → + 1 2   B C → = A B → + 1 2   B A → + A C → = A B → + 1 2 A C → - A B → = 1 2   A B → + 1 2   A C →

A N → = A D → + D N → = A D → + 1 2   D C → = A D → + 1 2   D A → + A C → = A D → + 1 2 A C → - A D → = 1 2   A D → + 1 2   A C →

Escrevendo em termos da base:

A M → = 1 2 u → + 1 2 v →                 e             A N → = 1 2 v → + 1 2 w →

Assim,

A M → 2 = 1 4   u → + v → ⋅ u → + v → = 1 4   u → ⋅ u → + v → ⋅ v → + 2   u → ⋅ v → = 1 4   4 + 9 + 2 ⋅ 0 = 13 4

A N → 2 = 1 4   w → + v → ⋅ w → + v → = 1 4   w → ⋅ w → + v → ⋅ v → + 2   v → ⋅ w → = 1 4   16 + 9 + 2 ⋅ 6 = 37 4

Portanto,

A M → = 13 2                     e                       A N → = 37 2

Passo 3

Para achar o ângulo θ = M Â N , fazemos

cos ⁡ θ = A M → ⋅ A N → A M →   A N →

O produto escalar é

A M → ⋅ A N → = 1 4   u → + v → ⋅ w → + v → = 1 4 ( u → ⋅ w → + u → ⋅ v → + v → ⋅ w → + v → ⋅ v → )

Assim,

A M → ⋅ A N → = 1 4 4 + 0 + 6 + 9 = 19 4

Portanto,

cos ⁡ θ = 19 / 4 13 ⋅ 37 / 4 = 19 481

Portanto,

θ = arccos ⁡ 19 481

Resposta

θ = arccos ⁡ 19 481

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