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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 34

Na Figura 9-4 (c), a aresta do cubo mede 3 e P é um ponto sobre H F tal que a medida angular entre   D P → e   D H → é 30 ° . Calcule as normas de   D P → e   H P → e a medida em radianos do ângulo P D ^ C .

Passo 1

Esse problema fica muito mais simples se usarmos uma base ortonormal. Note que a base A B → ,   A D → ,   A E → não é ortonormal (é apenas ortogonal), pois seus vetores têm norma 3 . Assim, vamos adotar uma base ortonormal B = i → ,   j → ,   k → , com

i → = 1 3   A B →

j → = 1 3   A D →

k → = 1 3   A E →

Nessa base, tomando como origem o ponto A , o ponto P tem coordenadas

P = ( x ,   y ,   3 )

Já os pontos D e H tem coordenadas

D = 0 ,   3 ,   0             e             H = ( 0 ,   3 ,   3 )

Assim,

D P → = P - D = ( x ,   y - 3 ,   3 )

D H → = H - D = ( 0 ,   0 ,   3 )

Passo 2

O ângulo entre os vetores D P → e   D H → é 30 ° , de modo que

cos ⁡ 30 ° = 3 2 = D P → ⋅ D H → D P → D H →

Fazendo o produto escalar:

D P → ⋅ D H → = 0 + 0 + 9 = 9

Além disso,

D H → = 3

Assim,

3 2 = 9 3 D P → ⇒ D P → = 6 3 = 2 3 ⇒ D P → 2 = 4 ⋅ 3 = 12

Desta forma,

x 2 + y - 3 2 + 3 2 = 12 ⇒ x 2 + y - 3 2 = 3

Passo 3

Agora precisamos achar uma relação entre x e y para resolver o problema. Note que o ponto P está sobre H F , de modo que

F P → = λ   F H →

Como F = ( 3 ,   0 ,   3 ) , temos que

F P → = P - F = ( x - 3 ,   y ,   0 )

F H → = H - F = ( - 3 ,   3 ,   0 )

Portanto,

x - 3 ,   y ,   0 = λ   ( - 3 ,   3 ,   0 )

Assim,

x - 3 = - 3 λ y = 3 λ

Portanto,

x - 3 = - y ⇒ y - 3 = - x

Assim, como x 2 + y - 3 2 = 3 , temos que

x 2 + - x 2 = 3 ⇒ x 2 = 3 2 ⇒ x = ± 6 2

Por convenção, escolhemos x > 0 :

x = 6 2 ⇒ y = 3 - 6 2

Passo 4

Agora podemos calcular o que o problema pediu:

D P → = x ,   y - 3 ,   3 = 6 2 ,   - 6 2 ,   3

H P → = P - H = x ,   y - 3 ,   0 = 6 2 ,   - 6 2 ,   0

Para as normas:

D P → 2 = 6 4 + 6 4 + 9 = 12 ⇒ D P → = 12 = 2 3

H P → 2 = 6 4 + 6 4 = 3 ⇒ H P → = 3

Para achar o ângulo P D ^ C , temos que achar o ângulo entre os vetores D P → e D C → = ( 3 ,   0 ,   0 ) :

D P → ⋅ D C → = 6 2 ,   - 6 2 ,   3 ⋅ 3 ,   0 ,   0 = 3 6 2

Assim,

cos ⁡ θ = D P → ⋅ D C → D P → D C → = 3 6 2 ⋅ 1 2 3 ⋅ 3 = 2 4

Portanto,

m e d   P D ^ C = arccos ⁡ 2 4

Resposta

D P → = 2 3

H P → = 3

m e d   P D ^ C = arccos ⁡ 2 4

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a) No exercício resolvido anterior, suponha que u → , v → e w → sejam não-nulos, não necessariamente unitários. Pode-se ainda concluir que ( u → ,v → ,w → ) é base?c) Mostre que, se u → , v → e w → sã
Sejam u → , v → , a → e b → vetores não0nulos tais que u → = α a → e v → = β b → . Mostre que a n gu → ,v → = a n ga → ,b → se α β0 e a n ga → ,b → = π - a n ga → ,b → se α β0 .
Prove que:a) u → + v → ⋅ u → - v → = u → 2 - v → 2 b) as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares se, e somente se, o paralelogramo é um losango.c) v → u → + u → v → é ortogonal a v → u → - u
A medida angular em radianos entre u → e v → é π / 4 , u → = 5 e v → = 1 . Calcule a medida angular em radianos entre u → + v → e u → - v → .
Na Fig. 9-3, a circunferência de centro O tem raio r . Calcule B A → ⋅ B C → em função de r e das medidas α e β dos ângulos indicados. Aplique o resultado para provar que todo ângulo inscrito em uma c