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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 14.4 - Ex. 12

Uma indústria produz porcas, parafusos e pregos, podendo usar dois métodos distintos (mas não simultaneamente) para produzi-los. O primeiro método produz 3000 porcas, 2000 parafusos e 2500 pregos por hora, enquanto o segundo produz 4000 parafusos e 4000 pregos por hora, mas nenhuma porca. A indústria trabalha 18 horas por dia e tem uma encomenda de 5000 porcas, 5000 parafusos e 5000 pregos. Durante quantas horas ela deve empregar cada método para fazer a entrega o mais rapidamente possível?

Passo 1

Se liga, galera, essa parece misteriosa mas não é não! Ó só, a gente tem que produzir 5000 porcas, mas perceberam que só o primeiro método é que faz porcas? Então vamos começar logo com ele de cara até produzir a quantidade que a gente precisa. Em seguida, a gente troca pro outro, pra terminar de fazer os parafusos e os pregos, porque ele produz mais por hora!

Passo 2

Então vamos ver quanto tempo que vai precisar do primeiro método. Ele faz 3000 porcas por hora, e precisamos de 5000 . Assim,

3000 t 1 = 5000

t 1 = 5 3 h

Portanto, vamos precisar do primeiro método por um tempo t 1 = 100 minutos. Nesse tempo, vão ter sido produzidos 2000 × t 1 parafusos e 2500 × t 1 pregos.

Passo 3

Beleza, agora vamos completar com o que falta de prego e de parafuso. No primeiro método produzimos menos parafusos que pregos, certo? Então vamos ver quanto tempo precisa pra chegar na quantidade que falta deles!

Precisamos de 5000 parafusos e já foram produzidos 2000 × t 1 . Agora, vamos produzir 4000 por hora durante um tempo t 2 :

4000 × t 2 = 5000 - 2000 × t 1

4 t 2 = 5 - 2 t 1

Substituindo,

4 t 2 = 5 - 2 5 3 = 5 3

Então,

t 2 = 5 12 h

Então, precisamos usar o segundo método por um tempo t 2 = 25 minutos.

Resposta

100 minutos do primeiro método e 25 minutos do segundo.

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