Uma máquina produz dois tipos A e B de frascos de vidro, mas não simultaneamente. Ao produzir um frasco do tipo A ela gasta 0,2 horas, e ao produzir um tipo B , gasta 0,4 horas. Sabendo que a máquina pod trabalhar no máximo 16 horas por dia e que o fabricante tem um lucro de 2   u . c . p . com um frasco tipo A e 3   u . c . p . com um frasco tipo B , quantos frascos de cada tipo devem ser produzidos para que o lucro seja máximo?

Passo 1

Aqui vamos dizer que é x a quantidade de frascos do tipo A e y os frascos do tipo B , show? E aí, o tempo gasto por cada produção de A é 0,2 x horas, e de B , 0,4 y horas. O lucro com A é de 2 x , e com B de 3 y , certo? Já temos tudo pra escrever as desigualdades:

x ≥ 0 y ≥ 0 0,2 x + 0,4 y ≤ 16

E o que a gente quer? A gente quer maximizar a função L x , y = 2 x + 3 y . Estamos juntos?

Passo 2

Beleza, já vimos como é que a gente faz isso na teoria. Bora esboçar essa região aí! Traçando a inequação da terceira linha, vamos ficar com esse gráfico:

Como a gente quer o x e o y maiores ou iguais a zero, vamos ficar só com o triângulo acima do eixo x e à direita do eixo y . Beleza, como queremos maximizar 2 x + 3 y , vamos pegar a reta que é perpendicular a essa função! Ela é dada por ( - 3 ,   2 ) , certo? Então a reta que passa pela origem e tem essa direção é:

- 3 x + 2 y = 0

Interceptando essa função com a reta da bordinha da inequação, vai ficar:

- 3 x + 2 y = 0 0,2 x + 0,4 y = 16

Substituindo a primeira na segunda:

0,2 x + 0,4 3 2 x = 16

0,8 x = 16

x = 20

E aí, com isso,

y = 3 2 20 = 30

Passo 3

Pronto, achamos os valores que dão o máximo que a gente queria! O lucro dessa produção vai ser:

L 20 ,   30 = 2 20 + 3 30

L 20 ,   30 = 130

Resposta

130   u . c . p .

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