Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 37
Determinar o vetor de módulo , sabendo que é ortogonal ao eixo e ao vetor , e forma ângulo obtuso com o vetor .
Passo 1
Vamos lá, se o vetor é ortogonal ao eixo ele deve ter a coordenada de igual a zero, pois qualquer vetor no plano será ortogonal ao eixo , então ele vai ser da forma:
Falta então achar as coordenadas e .
Se é ortogonal ao vetor então o produto escalar deles é igual a :
Pronto, aqui temos uma equação com duas variáveis, vamos tentar encontrar outra equação com essas duas variáveis pra poder achar os valores delas.
Passo 2
Como temos que vamos usar a fórmula do módulo de um vetor, para calcular o módulo de um vetor vamos usar a fórmula tirada pelo Teorema de Pitágoras:
Pronto, vamos então aplicar essa fórmula do módulo:
Agora temos duas fórmulas com duas variáveis:
Vamos substituir o termo de da primeira na segunda parar encontrar o valor de :
Agora é fácil encontrar o valor de :
Passo 3
Só que temos dois valores para e , com sinais opostos:
Mas o enunciado quer que forme ângulo obtuso com o vetor , e pra isso acontecer temos que o produto escalar desses dois vetores deve ser menor que , vamos testar os dois vetores e ver com qual vamos obter um valor menor que zero:
Pronto, vamos usar os valores negativos: