Enunciado

Determinar o vetor a → de módulo 5 , sabendo que é ortogonal ao eixo O y e ao vetor v → = i → - 2 k → , e forma ângulo obtuso com o vetor i → .

Passo 1

Vamos lá, se o vetor é ortogonal ao eixo O y ele deve ter a coordenada de y igual a zero, pois qualquer vetor no plano x z será ortogonal ao eixo y , então ele vai ser da forma:

a → = O A → = A - O = x , 0 , z - 0,0 , 0 = x , 0 , z

Falta então achar as coordenadas x e z .

Se a → é ortogonal ao vetor v → então o produto escalar deles é igual a 0 :

a → ⋅ v → = 0 → x , 0 , z ⋅ 1,0 , - 2 = 0 → x - 2 z = 0

Pronto, aqui temos uma equação com duas variáveis, vamos tentar encontrar outra equação com essas duas variáveis pra poder achar os valores delas.

Passo 2

Como temos que a → = 5 vamos usar a fórmula do módulo de um vetor, para calcular o módulo de um vetor u → = x , y , z vamos usar a fórmula tirada pelo Teorema de Pitágoras:

u → = x 2 + y 2 + z 2

Pronto, vamos então aplicar essa fórmula do módulo:

a → = x 2 + 0 2 + z 2 → 5 = x 2 + z 2 → 5 2 = x 2 + z 2 2 → 25 = x 2 + z 2

Agora temos duas fórmulas com duas variáveis:

x - 2 z = 0 → x = 2 z

25 = x 2 + z 2

Vamos substituir o termo de x da primeira na segunda parar encontrar o valor de z :

25 = x 2 + z 2 → 25 = 2 z 2 + z 2 → 25 = 4 z 2 + z 2 → 5 z 2 = 25 → z 2 = 5 → z = ± 5

Agora é fácil encontrar o valor de x :

x = 2 z = ± 2 5

Passo 3

Só que temos dois valores para x e z , com sinais opostos:

a → = x , 0 , z = ± 2 5 , 0 , ± 5

Mas o enunciado quer que a → forme ângulo obtuso com o vetor i → , e pra isso acontecer temos que o produto escalar desses dois vetores deve ser menor que 0 , vamos testar os dois vetores e ver com qual vamos obter um valor menor que zero:

a → ⋅ i → < 0

2 5 , 0 , 5 ⋅ 1,0 , 0 = 2 5 > 0

- 2 5 , 0 , - 5 ⋅ 1,0 , 0 = - 2 5 < 0

Pronto, vamos usar os valores negativos:

a → = - 2 5 , 0 , - 5

Resposta

a → = - 2 5 , 0 , - 5

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