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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 36

Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo O z e que forme 60 ° com o vetor i → .

Passo 1

Vamos lá, um vetor unitário ortogonal ao eixo O z deve ter a coordenada de z igual a zero, pois qualquer vetor no plano x y será ortogonal ao eixo z , então ele vai ser da forma:

v → = O A → = A - O = x , y , 0 - 0,0 , 0 = x , y , 0

Vamos achar então as coordenadas x e y .

Passo 2

Nós temos que os ângulos diretores de v → são os ângulos α , β e γ que v → forma com os vetores i → , j → e k → , respectivamente, e já temos que α = 60 ° , e γ = 90 ° pelo fato de ser ortogonal ao eixo O z , vamos então achar β .

Analisando os ângulos diretores, em relação aos vetores diretores temos que os cossenos diretores de um vetor v → são os componentes do versor de v → :

v → v → = x , y , z v → = x v → , y v → , z v → = cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ

E como o versor é um vetor unitário, temos que as somas dos quadrados dos ângulos devem ser iguais a zero:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Temos então que o vetor v → é:

v → v → = v → 1 = v → = cos ⁡ 60 ° , cos ⁡ β , cos ⁡ 90 ° = 1 2 , cos ⁡ β , 0

Passo 3

Vamos então substituir os ângulos na expressão para achar cos ⁡ β :

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1 → cos 2 ⁡ 6 0 ° + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ 9 0 ° = 1 →

→ 1 2 2 + cos 2 ⁡ β + 0 2 = 1 → 1 4 + cos 2 ⁡ β + 0 = 1 → 4 4 = 1 → cos 2 ⁡ β = 1 - 1 4 →

→ cos 2 ⁡ β = 4 - 1 4 → cos 2 ⁡ β = 3 4 → cos ⁡ β = ± 3 4 = ± 3 2

Pronto, temos o vetor:

v → = cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ = cos ⁡ 60 ° , ± 3 2 , cos ⁡ 9 0 ° = 1 2 , ± 3 2 , 0

Resposta

v → = 1 2 , ± 3 2 , 0

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Determine a derivada da função vetorial. r → t = t a → × b → + t c →