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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 14

Demonstre que existe apenas um plano tangente à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0 que contém a reta x = 4 t + 4 , y = 3 t + 1 , z = t + 1 .   Escreva sua equação.

Passo 1

Fala aee, galera! Tudo bem? :D

Para descobrirmos a equação do plano tangente citado, precisamos de um vetor n → perpendicular ao plano e um ponto T que pertence ao plano.

Passo 2

Completando quadrados, iremos achar a equação reduzida da superfície esférica:

E : x - 1 2 + y + 3 2 + z + 1 2 = 3

Portanto,

O centro da esfera vale:

C = ( 1 , - 3,1 )

O raio da esfera vale:

R = 3

Passo 3

O ponto de tangência T é um ponto que pertence a reta dada, logo deve satisfazer a equação da reta. Assim:

T = ( 4 + 4 t , 1 + 3 t , 1 + t )

A distância de C até T é o raio da esfera. Logo:

d C , T = R

4 + 4 t - 1 2 + 1 + 3 t + 3 2 + 1 + t - 1 2 = 3

3 + 4 t 2 + 4 + 3 t 2 + t 2 = 3

9 + 24 t + 16 t 2 + 16 + 24 t + 9 t 2 + t 2 = 3

26 t 2 + 48 t + 22 = 0

t = - 1   o u   t = - 11 13

Passo 4

Para t = - 1 , temos:

T = ( 0 , - 2,0 )

Substituindo esse valor em E , chegamos a:

3 = 3

Logo, pertence a esfera.

Para t = - 11 13 , temos:

T = ( 8 13 , - 20 13 , 2 13 )

Substituindo esse valor em E , chegamos a:

611 169 = 3

Logo, não pertence a esfera.

Passo 5

O vetor perpendicular ao plano procurado é:

T C → = ( 1 , - 1,1 )

Como T = ( 0 , - 2,0 ) pertence ao plano:

π : 1 0 - 1 - 2 + 1 0 + d = 0

d = - 2

Concluímos que:

π : x - y + z - 2 = 0

Resposta

π : x - y + z - 2 = 0

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