Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 20
Seja um subespaço de . Mostre que o conjunto de todos os vetores ortogonais a todos os vetores de é um subespaço de . Este subespaço é chamado de complemento ortogonal de e denotado por , ou seja,
Passo 1
Oiii, como vai? Tudo certinho?
De cara aqui neste problema precisamos lembrar o que diabos é um subespaço! Parece confuso assim a primeira vista, mas é bem simples, é um subconjunto que deve obedecer algumas regrinhas (propriedades), sendo elas as seguintes:
(i) Deve conter o elemento neutro.
(ii) Se tivermos dois vetores que pertencem a esse subconjunto a soma deles deve também pertencer ao subconjunto
(iii) Se construirmos um novo vetor multiplicando um vetor que pertence ao subconjunto por um escalar, esse novo vetor deve pertencer ao subconjunto.
Se as três propriedades valerem, nosso subconjunto é um subespaço. Vamos começar a verificar isso!
Passo 2
Primeiro, será que nosso subconjunto contém o elemento neutro? Saca só! Ele é composto por vetores em que , para todo vetor , temos ali a nossa regra, ele deve ser ortogonal a todo mundo, vamos verificar isso! O elemento neutro seria um vetor da forma:
Se lembrarmos a definição de produto escalar em dimensões como:
Note que como , a relação é válida para todo vetor . Ou seja o nosso subconjunto contém o elemento neutro. Vamos para a próxima propriedade agora!
Passo 3
Considerando agora então que temos um vetor e um vetor , temos que ambos obedecem:
Mas será que , respeita a condição:
Se respeitar, a propriedade dois está valendo! Vamos verificar!
Passo 4
Primeiro, vamos escrever explicitamente o vetor que construímos, temos que:
Vamos lembrar da propriedade distributiva do produto escalar, ou seja:
Como ambos, , pertencem a , temos que a relação acima resulta em:
Ou seja, a soma dos dois vetores também é ortogonal a todo vetor , beleza! A propriedade (ii) também vale! Vamos para a última!
Passo 5
Agora, vamos escolher um vetor , em que , será que
é verdade? Para isso vamos lembrar da propriedade de multiplicação por escalar do produto escalar, que diz:
Como , então , e portanto temos que
E portanto, . E como isso é verdade, temos que é sim um subespaço do . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
Ao longo dos passos.