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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.1 - Ex. 15

Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a média aritmética das medidas das bases. (Sugestão: mostre que M N → = 1 2 ( A B → + D C → ) e depois conclua que M N → é múltiplo escalar de A B → .

Passo 1

Fala aeeeee, pessoal. Tudo na paz?

Analisando o trapézio inferior AMNB, chegamos a:

  M N → =   M A → +   A B → +   B N →

Como   M A → = 1 2   D A → e   B N → = 1 2   B C → , temos:

  M N → =   1 2 D A → +   C D → + 1 2 B C →   ( i )

Passo 2

Agora, analisando o trapézio superior:

  M N → =     M D → +   D C → +   C N →

Como M D → = 1 2   A D → e C N → = 1 2   C B → , temos:

  M N → = 1 2   A D → +   A B → + 1 2   C B →   ( i i )

Passo 3

Somando ( i ) com ( i i ) :

2   M N → = 1 2 D A → +   C D → + 1 2 B C → + 1 2   A D → +   A B → + 1 2   C B →

2 M N → =   A B → + D C →

Logo:

M N → = 1 2 ( A B → + D C → )

Passo 4

Temos ainda que A B →   e   D C → são paralelos, portanto, o módulo da sua soma é a soma dos seus módulos, ou seja, A B → + D C → = A B → + D C → . Então o módulo de M N → é a semi soma das bases do trapézio, Ou seja:

M N → = α ( A B → + D C → )

Portanto, M N → é paralelo a ambas as bases.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se é um paralelogramo o quadrilátero de vértices (não necessariamente consecutivos) (b): A = 4 , - 1,1 , B = 9 , - 4,2 , C = ( 4,3 , 4 ) e D = ( 9 , 0 , 5 )
Quais dos seguintes vetores são paralelos U = 6 , - 4 , - 2 , V = - 9,6 , 3 , W = 15 , - 10,5 .
Considere o triângulo A B C e sejam M o ponto médio de B C , N o ponto médio de A C e P o ponto médio de A B . Mostre que as medianas (os segmentos A M , B NeC P ) se cortam num mesmo ponto que divide
Demonstre que se V e W são vetores quaisquer, então: (b): V + W ≤ V + W ;