Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a média aritmética das medidas das bases. (Sugestão: mostre que M N → = 1 2 ( A B → + D C → ) e depois conclua que M N → é múltiplo escalar de A B → .

Passo 1

Fala aeeeee, pessoal. Tudo na paz?

Analisando o trapézio inferior AMNB, chegamos a:

  M N → =   M A → +   A B → +   B N →

Como   M A → = 1 2   D A → e   B N → = 1 2   B C → , temos:

  M N → =   1 2 D A → +   C D → + 1 2 B C →   ( i )

Passo 2

Agora, analisando o trapézio superior:

  M N → =     M D → +   D C → +   C N →

Como M D → = 1 2   A D → e C N → = 1 2   C B → , temos:

  M N → = 1 2   A D → +   A B → + 1 2   C B →   ( i i )

Passo 3

Somando ( i ) com ( i i ) :

2   M N → = 1 2 D A → +   C D → + 1 2 B C → + 1 2   A D → +   A B → + 1 2   C B →

2 M N → =   A B → + D C →

Logo:

M N → = 1 2 ( A B → + D C → )

Passo 4

Temos ainda que A B →   e   D C → são paralelos, portanto, o módulo da sua soma é a soma dos seus módulos, ou seja, A B → + D C → = A B → + D C → . Então o módulo de M N → é a semi soma das bases do trapézio, Ou seja:

M N → = α ( A B → + D C → )

Portanto, M N → é paralelo a ambas as bases.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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