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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 22a

Sejam ( a → ,   b → ,   c → ) uma base positiva, u → = a → ∧ b → ,   v → = ( a → + b → ) ∧ c → e w → = ( b → ∧ a → ) ∧ a → .

(a) Mostre que u → ,   v → , w → é base e determine sua orientação.

Passo 1

Bora lá!

Para resolver esse problema, precisamos da seguinte identidade:

u → ∧ v → ,   a → ∧ b → ,   x → ∧ y → = u → , a → , b → u → , x → , y → v → , a → , b → v → , x → , y →

Além disso, vamos definir o produto misto a → ,   b → ,   c → da seguinte forma:

a → ,   b → ,   c → = M

Como se trata de uma base positiva, M > 0 .

Passo 2

A questão nos fornece os seguintes dados:

u → = a → ∧ b →

v → = a → + b → ∧ c →

w → = b → ∧ a → ∧ a →

u → , v → , w → = a → ∧ b → , a → + b → ∧ c → , b → ∧ a → ∧ a →

E pela identidade inicial, temos:

a → ∧ b → , a → + b → ∧ c → , b → ∧ a → ∧ a → = a → , a → + b → , c → a → , b → ∧ a → , a → b → , a → + b → , c → b → , b → ∧ a → , a →

Passo 3

Utilizando as propriedades do produto misto, iremos desenvolver a equação anterior, obtendo:

u → , v → , w → = a → , a → + b → , c → a → , b → ∧ a → , a → b → , a → + b → , c → b → , b → ∧ a → , a →

u → , v → , w → = a → , b → , c → 0 b → , a → , c → - b → , a → , b → ∧ a →

u → , v → , w → = M 0 - M - b → ∧ a → . b → ∧ a →

u → , v → , w → = - M . b → ∧ a → 2

Passo 4

Analisando o produto misto anterior, sabemos que M > 0 e b → ∧ a → 2 > 0 . Logo, temos u → , v → ,   w → < 0 , ou seja, ( u → ,   v → ,   w → ) é uma base sinistra.

Resposta

(a) u → , v → ,   w → < 0 .

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