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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 15b

Seja E uma base ortonormal positiva.

(b) Sejam u → ,   v → ,   w → ,   x → ,   y →   e   z → vetores quaisquer. Mostre que

u → ,   v → ,   w → x → ,   y → ,   z → = u → . x → u → . y → u → . z → v → . x → v → . y → v → . z → w → . x → w → . y → w → . z →

Passo 1

Bora lá!

Para esse exercício, nós iremos usar a seguinte propriedade de matriz que foi mostrada na letra (a):

A T B = a → 1 . b → 1 a → 1 . b → 2 a → 1 . b → 3 a → 2 . b → 1 a → 2 . b → 2 a → 2 . b → 3 a → 3 . b → 1 a → 2 . b → 3 a → 3 . b → 3

Onde a → i e b → j são os vetores colunas das matrizes A e B .

Passo 2

Seja E uma base ortonormal positiva. Se a → 1 ,   a → 2 ,   a → 3 são os vetores-coluna de uma matriz A , então:

a → 1 ,   a → 2 ,   a → 3 = det ⁡ A T

Certo?

Passo 3

Agora, vamos definir as matrizes A e B de modo que os vetores ( u → ,   v → ,   w → )   e   ( x → ,   y →   e   z → ) sejam, nessa ordem os vetores colunas de A e B , respectivamente. Usando a propriedade do Passo 2, temos, então:

u → ,   v → ,   w → = det ⁡ A T

x → ,   y → ,   z → = det ⁡ B t

Usando a propriedades dos determinantes, temos que:

u → ,   v → ,   w → x → ,   y → ,   z → = det ⁡ A T det ⁡ B t

u → ,   v → ,   w → x → ,   y → ,   z → = det ⁡ A T det ⁡ B

u → ,   v → ,   w → x → ,   y → ,   z → = det ⁡ ( A T B )

Passo 4

Usando a propriedade apresentada no Passo 1 e lembrando que u → ,   v → ,   w → e ( x → ,   y → ,   z → ) os vetores colunas de A e B , respectivamente, então:

A T B = u → . x → u → . y → u → . z → v → . x → v → . y → v → . z → w → . x → w → . y → w → . z →

det  ⁡ A T B   = u → . x → u → . y → u → . z → v → . x → v → . y → v → . z → w → . x → w → . y → w → . z →

Passo 5

Por fim, substituindo a equação anterior naquela última do Passo 3, obtemos:

u → ,   v → ,   w → x → ,   y → ,   z → = det ⁡ ( A T B ) = u → . x → u → . y → u → . z → v → . x → v → . y → v → . z → w → . x → w → . y → w → . z →

Portando, provamos o que foi pedido 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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