Dados os vetores u →   =   ( 0,1 , - 1 ) e w →   =   ( 2,5 , 4 ) , calcule o comprimento da projeção do vetor - 4 u →   +   w →   sobre o eixo cuja direção é dada pelo vetor w → - 2 u → .

Passo 1

Antes de mais nada, vamos calcular os vetores - 4 u →   +   w → e w → - 2 u → :

z → = - 4 u →   +   w → =   - 4 ( 0,1 , - 1 ) + ( 2,5 , 4 ) = ( 2,1 , 8 )

v → = w → - 2 u → = ( 2,5 , 4 ) - 2 ( 0,1 , - 1 ) = ( 2,3 , 6 )

Passo 2

Agora, para calcular o comprimento da projeção do vetor - 4 u →   +   w →   sobre o eixo cuja direção é dada pelo vetor w → - 2 u → , precisamos primeiramente projetar o primeiro vetor na direção do segundo e depois calcular o módulo do vetor resultante. A projeção de um vetor z → na direção de um vetor v → é dada pela fórmula:

p r o j v z → = z → ⋅ v → | v | → 2 v →

Além disso, já podemos usar a fórmula do módulo da projeção:

| p r o j v z → | = | z → ⋅ v → | | v | →

Então vamos fazer os cálculos por partes:

z → ⋅ v → = ( 2,1 , 8 ) ⋅ ( 2,3 , 6 ) = 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 + 8 ⋅ 6 = 7 + 48 = 55

| v → | = 4 + 9 + 36 = 49   =   7

Assim, ficamos com

| p r o j v z → | = | z → ⋅ v → | | v | → = 55 7  

Resposta

55 7

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